Jacob Bernoulli: matemático de lo accidental
Publicado en 1713, El arte de conjeturar es uno de los pilares de la teoría de probabilidad, que busca hacer medible, gracias a las matemáticas, aquello que por sí mismo no lo es: la incertidumbre y el azar
POR RAÚL ROJAS
Las dos ciencias más antiguas son la astronomía y las matemáticas. En esta última, la geometría y la aritmética son sus dos disciplinas de mayor tradición. El álgebra es más reciente: floreció en los siglos XVI y XVII. La teoría de la probabilidad, por su parte, es aún más moderna. Podríamos decir que realmente maduró apenas en los últimos 100 años. Pero el punto de partida lo encontramos, sin duda, en el celebrado libro Ars Conjectandi (El arte de conjeturar) del gran matemático suizo Jacob Bernoulli (1655-1705). Lo importante del texto, publicado en 1713 en latín, es que intenta darle un fundamento matemático a lo que el matemático de Basilea llama la “estocástica”, es decir, el estudio de lo casual y aparentemente accidental. En la obra, Bernoulli demuestra la llamada “ley de los grandes números”, que es uno de los pilares en los que se asienta el cálculo de probabilidades. Aunque Bernoulli trabajó muchos años en el texto de Ars Conjectandi, nunca estuvo completamente satisfecho con el borrador, de manera que el libro se publicó de manera póstuma, ocho años después de su muerte. Es uno de esos tratados que hicieron historia, aunque el autor ya no lo pudo atestiguar. Lo mismo sucedió con la obra maestra de Copérnico o con El Príncipe de Maquiavelo.
Hay dos cosas que siempre parecen estar contrapuestas: una es la causalidad y otra es la casualidad, aunque las dos palabras difieran sólo en el orden de dos letras. La causalidad la podemos someter a las reglas de la lógica: por ejemplo, podemos explicar la salida del sol por las mañanas como un efecto necesario de la rotación de la tierra alrededor de su eje. Por eso a la causalidad la podemos “apresar” formulando leyes naturales. Pero la caída de un dado en un juego de azar, o determinar la casilla en la que termina la esferita usada en una ruleta, parecieran ser fenómenos imposibles de calcular. Sin embargo, si en vez de tratar de predecir un solo experimento realizamos muchos, de pronto surgen regularidades que se pueden explorar matemáticamente.
Las primeras investigaciones sobre fenómenos probabilísticos se dieron alrededor de juegos de azar. El polímata italiano Gerolamo Cardano investigó algunos de ellos en el siglo XVI, de los que sacaba provecho como apostador. Sin embargo, su libro fue publicado póstumamente, 100 años después de haber sido escrito, hasta el momento en que aumentó el interés por resolver problemas combinatorios. Matemáticos árabes habían realizado ya algunos cálculos en ese sentido, pero no fue realmente sino hasta los inicios del siglo XVIII, con Bernoulli, Abraham de Moivre y otros, que matemáticos de gran talla publicaron sobre estocástica. Es un misterio tratar de explicar a qué se debe que los matemáticos de la antigüedad no se hayan interesado más por problemas combinatorios, tomando en cuenta que los dados más antiguos que conocemos datan de hace 23 siglos, cuando ya existía un juego similar al que hoy llamamos backgammon. Quizás ese descuido se deba a la forma en que se concebía la vida en aquellos tiempos, como algo sometido a la inexorabilidad del destino. A posteriori creemos poder explicar todo y la casualidad se puede reducir a causalidad, como destino materializado. Es ese el dilema también de la física moderna que es causal en su forma clásica, pero probabilista para fenómenos llamados cuánticos. Eso no ha impedido que algunos físicos traten de elaborar teorías basadas en “variables ocultas” que reducirían lo casual a nuestra ignorancia parcial de todas las condiciones iniciales del problema. En Ars Conjectandi Bernoulli hace una alusión en ese sentido.
El arte de conjeturar está dividido en cuatro partes y contiene un apéndice sobre cálculo diferencial y series infinitas. El nombre que Bernoulli eligió para su obra hace alusión a un libro más antiguo, Ars Cogitandi (el arte de pensar), de 1662, escrito por dos matemáticos franceses, y en donde por un lado se trata de explicar las reglas de la lógica, pero también cómo tomar decisiones cuando hay incertidumbre. Esta contraposición entre los férreos dictados de la lógica y decisiones en situaciones inciertas es un problema en todos los campos del quehacer humano.
Y eso es lo que Bernoulli ofrece con Ars Conjectandi: una matematización más rigurosa de la incertidumbre y del azar, al tiempo que esboza la aplicación de estos conocimientos a otras áreas, como el derecho, que sin embargo ya no pudo concretar.
La primera parte de Ars Conjectandi es aquella con la que Bernoulli estaba más insatisfecho. Esta parte reproduce los resultados del sabio holandés Christiaan Huygens, publicados en su pequeño tratado Cómo razonar en juegos de azar, de 1657, con muchos comentarios y extensiones añadidos por Bernoulli. Además resuelve cinco problemas que Huygens declaró como aun abiertos. Posiblemente Bernoulli hubiera querido reescribir toda esta sección para incluir más de su propio material.
La segunda parte asemeja a un libro de texto y explica sistemáticamente las bases de la combinatoria, que consiste en contar todas las formas posibles de reordenar o asignar conjuntos de objetos. Un ejemplo clásico es determinar cuántas maneras distintas hay de escribir los números del uno al cinco, uno tras otro. Otro problema combinatorio sería determinar de cuántas maneras diferentes se puede escribir el número diez como la suma de dos enteros positivos. Este tipo de problemas son determinísticos, como se dice, y lo único que hay que saber es cómo abarcar todos los casos sin olvidar ninguno.
Pasamos de problemas determinísticos y combinatorios a problemas probabilísticos, cuando nos preguntamos qué tan frecuentemente una cierta combinación ocurre, por ejemplo, qué tan probable es que la suma de las caras de dos dados pudiera ser seis. Hay cinco formas en las que eso puede ocurrir y hay que compararlas con todas las formas posibles en las que pueden caer los dados (que son 36). La relación entre cinco y 36 es la probabilidad de que la suma de dos dados sea seis. En la tercera parte del libro, Bernoulli propone 24 problemas en juegos de azar, que resuelve detalladamente.
Dos conceptos centrales aparecen en las partes iniciales del libro: el de “valor esperado” y el concepto de lo que se ha llamado “pruebas de Bernoulli”. Esto último se refiere a experimentos repetidos que sólo tienen dos resultados posibles, como arrojar una moneda en el aire. O anotar, para cada día, si llueve o no. Hay muchos problemas probabilísticos que tienen esta forma binaria. Por otra parte, el “valor esperado” es un concepto que ha entrado en la vida diaria. Por ejemplo, cuando hablamos de la esperanza de vida al nacer. Algunas personas vivirán 100 años, otras morirán jóvenes, pero en promedio la esperanza de vida al nacer es de unos 80 años, en muchos países. O al arrojar una moneda al aire: esperamos que después de 100 experimentos unas 50 veces la moneda muestre un lado (águila), y otras 50 veces el lado contrario (sol). El “valor esperado” de cada lado después de 100 experimentos es 50 (para una moneda legal).
Claro que, si hacemos un “experimento de Bernoulli” concreto, con una moneda, difícilmente obtendremos exactamente ese 50% teórico de “águilas”. Si tiramos la moneda diez veces, quizá siete veces resulte siendo águila y tres veces sol. Si la tiramos 100 veces, podríamos obtener 45 águilas y 55 soles. Pero si la tiramos mil veces, poco a poco el porcentaje de resultados se va acercando al 50% ideal, para los dos casos. Esa repetición continua va logrando que la desviación del resultado empírico, respecto al resultado ideal, o teórico, sea cada vez menor, porcentualmente.
Pues bien, ese es el principal teorema que Bernoulli demuestra en la cuarta parte de Ars Conjectandi. No sólo postula el efecto, lo demuestra matemáticamente. Bernoulli estaba tan satisfecho con esta deducción que la llamó el “Teorema dorado”. Hoy se conoce como la “ley de los grandes números”. Bernoulli lo explica así: “Podemos ilustrar esto con un ejemplo. Supongamos que no sabemos que en una urna opaca hay 3 mil canicas blancas y 2 mil canicas negras. Para estimar esa proporción extraemos a ciegas una canica tras otra (regresando cada vez a la urna la canica que hemos sacado). Vamos anotando cuántas veces aparece una canica blanca o una negra. La pregunta es: ¿podemos repetir esto de tal manera que es diez veces, 100 veces o mil veces más probable que la proporción de canicas blancas y negras extraídas tengan la misma proporción de tres a dos de las canicas en la urna, que otra proporción cualquiera?”. En otras palabras: ¿cuántas canicas tenemos que extraer para poder inferir, con alta seguridad, que la proporción blanco/negro es de tres a dos en la urna?
Eso es precisamente lo que se trata de lograr hoy en día cuando se realizan muestreos estadísticos, por ejemplo, de opinión electoral. Mientras más personas son incluidas en la muestra, menor es la desviación esperada respecto a lo que sucederá realmente en las elecciones. Eso es intuitivamente claro (en caso extremo, por ejemplo, podríamos incluir a todos los electores en la muestra), pero Bernoulli proporciona una fundamentación matemática para poder escoger la muestra más pequeña, que de todas maneras nos proporciona la seguridad deseada. Otro ejemplo más reciente sería el de las vacunas. Hay que probarlas con voluntarios, pero vacunarlos y observarlos implica un cierto costo por persona. Para que la vacuna sea aceptada hay que demostrar que tiene una cierta efectividad para impedir contagios, digamos del 70%. El resultado de Bernoulli nos dice que dado el margen de error aceptable (por ejemplo, si la vacuna puede tener entre 68% y 72% de efectividad) se puede estimar el tamaño mínimo de la muestra requerida, es decir, de voluntarios que tenemos que reclutar para el estudio. Ya el cálculo preciso depende de diversos factores, pero la ley de los
grandes números nos garantiza la existencia de esa muestra mínima, dada la precisión deseada.
Fue el hijo de Bernoulli, Nicolás, quien preparó el manuscrito de Ars Conjectandi para la imprenta (aunque a Nicolás se le ha confundido con un primo suyo). El retraso en la publicación implicó que para 1713, cuando el libro apareció en Basilea, ya se hubiera publicado dos años antes el libro en latín de Abraham de Moivre titulado Teoría del azar, que tuvo así el privilegio de ser el segundo libro de probabilidad importante después de la obra de Cardano mencionada arriba. De Moivre anticipó varios de los resultados de Bernoulli y fue más allá en algunos casos. Pero Bernoulli retuvo el privilegio de nombrar “estocástica” a la nueva disciplina, rescatando una palabra griega, ya usada por Platón, que quiere decir algo así como “dar en el blanco”.
La publicación de la obra no se hubiera retrasado tanto si Johann, el hermano de Jacob Bernoulli, se hubiera podido ocupar del manuscrito. Pero entre Johann y Jacob, ambos matemáticos de primera línea, privaba una enorme enemistad que trascendió la muerte de Jacob. Los celos profesionales los habían llevado a romper toda relación y se acusaban mutuamente de plagio. A la larga la familia Bernoulli produjo un número impresionante de científicos y al apellido lo encontramos asociado hoy a muchos objetos matemáticos y fenómenos físicos.
Hace algunos años, en 2013, los matemáticos en todo el mundo celebraron tres siglos de la publicación de Ars Conjectandi, la obra que inauguró lo que hoy conocemos como la teoría de la probabilidad y estocástica matemática.
FOTO: Retrato del matemático Jacob Bernoulli/Crédito de foto: Especial
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