Adam Ries y la mesa de cálculos
El libro de este matemático alemán del siglo XVI, Calculando sobre las líneas, no sólo fue sumamente demandado durante dos siglos, sino que ayudó en el proceso de alfabetización pues resultó ser sumamente pedagógico
POR RAÚL ROJAS
Hubo una época en la que la aritmética fue revolucionaria. Así ocurrió al ir concluyendo la Edad Media, cuando con la invención de la imprenta surgieron tres nuevas e imperantes necesidades sociales: poder a) leer, b) escribir y c) realizar cálculos. Se necesitaba alfabetizar y “numerizar” a la población, una labor hercúlea. Todavía en 1475, ya con la imprenta de Gutenberg produciendo libros en serie, sólo el 5%, 6% y 9% de la población estaba alfabetizada en Gran Bretaña, Francia y Alemania, respectivamente. No fue sino hasta 1750, en la alborada de la Revolución Industrial, que en Gran Bretaña la mitad de la población ya podía leer. Además, en pleno Renacimiento, a principios del siglo XVI, la aplastante mayoría de los europeos no podía realizar las operaciones aritméticas que hoy consideramos básicas. Estas habilidades numéricas son hoy tan necesarias que las debemos aprender en los primeros años de la escuela primaria.
La erupción del mercantilismo y capitalismo europeos durante el Renacimiento provocó una gran demanda de libros de texto sobre aritmética elemental. Varios autores se destacaron como los mejores expositores de su época: Luca Pacioli en Italia, Johannes Widman y Adam Ries en Alemania, así como Robert Recorde en Inglaterra. Cada uno, a su manera, convirtió a Europa en una inmensa escuela, al mismo tiempo que creaban algunos de los símbolos que hoy utilizamos diariamente en las matemáticas: Widman introdujo los símbolos de adición y substracción, mientras Recorde creó el símbolo de igualdad, con sus dos líneas horizontales paralelas. Gracias a ambos hoy podemos escribir 1+1=2.
Un ejemplo notable de esta transformación histórica es el libro Rechnung auff der linihen und federn (Calculando sobre las líneas y con pluma) del alemán Adam Ries, publicado en 1522. El libro fue tan demandado que llegó a tener 108 ediciones y dos siglos después todavía se seguía leyendo. Los cálculos sobre “las líneas” que menciona el título, se refieren a cálculos con el ábaco, pero en su versión europea, que consistía simplemente en algunas líneas paralelas trazadas sobre una mesa. Los expertos en aritmética eran llamados “maestros de cálculo” y el instrumento de estos artesanos era la “mesa de cálculo”. La “pluma” a la que se refiere el título del libro, es la de algún ave, usada para escribir con tinta sobre el papel. Adam Ries llegó a ser tan conocido, por éste y otros libros, que en Alemania cuando algo necesita ser calculado exactamente, se dice que hay que hacerlo “de acuerdo a Adam Ries”.
Aquel maestro de cálculos alemán era un experto en contabilidad. Dando clases a sus aprendices se percató de que existía un nicho en el mercado para libros de aritmética elemental. Aunque el sistema decimal posicional ya había sido introducido siglos atrás en Europa, adoptándolo de los árabes, poca gente podía calcular directamente sobre el papel. Eso se le dejaba a los expertos, los cuales además sabían llevar una contabilidad de “entrada doble”, como comenzaron a hacer los mercaderes de Venecia. Aunque el libro de Ries no era el único que en aquella época competía en el mercado alemán, era quizás el más accesible desde el punto de vista pedagógico y por los muchos ejemplos concretos que utilizaba.
Todo el mundo ha visto alguna vez un ábaco. Consiste en alambres de metal paralelos: uno para las unidades, otro para las decenas, uno más para las centenas, etc. En cada alambre hay 9 esferitas que se pueden desplazar, una tras otra, para ir contando. A veces a una esfera especial se le asigna el valor 5, para no tener que mover tantas esferas. Una mesa de cálculo es igual, en esencia, pero los alambres paralelos son virtuales, están pintados o cincelados sobre una mesa y las esferitas son sustituidas por monedas que se pueden mover de acuerdo a la distribución de las líneas. Fuera de eso, las reglas de operación son las mismas: cuando en una línea llego contando a 9 unidades, para poder avanzar un paso más, retiro esas monedas de la mesa y pongo una moneda en la línea superior (pasando de las unidades a las decenas, en este ejemplo).
El libro de Ries consiste en varias secciones donde se dan ejemplos numéricos para mostrar como se puede sumar, restar, multiplicar y dividir utilizando la mesa de cálculo. La substracción es motivada con el ejemplo de los créditos, los que representan deudas. Desde un punto de vista didáctico moderno, la forma de exponer las operaciones no es realmente ideal. Algunos pocos diagramas van acompañados de una explicación puramente verbal, de varios renglones, que el lector tendría que leer atentamente, utilizando una mesa de cálculo, para estar seguro de haber entendido bien la receta numérica. En sus ejemplos, Ries combina problemas de la vida diaria y a veces maneja adiciones con varias cifras, siguiendo los métodos estándar para el ábaco. Al lector moderno le puede sorprender la ausencia de notación matemática. La única notación utilizada en el libro es la de los números decimales y sus fracciones, con cifras indoarábigas. No hay símbolos para las operaciones aritméticas, aunque Ries escribió posteriormente una obra sobre álgebra donde si utiliza ciertos símbolos.
Mucho se ha escrito sobre el ritmo muy lento con el que se impusieron las cifras indoarábigas en Europa. El sistema numérico ya era decimal, desde los romanos, pero para escribir números se utilizaba una notación que no era posicional, sino estaba basada en el valor numérico de símbolos como C, L o X. Esa notación no es muy útil para realizar cálculos con papel y lápiz, pero era, sin embargo, la tradición en la contabilidad mercantil. Aunque los matemáticos europeos estaban bien informados de la notación indoarábiga, hasta el siglo XV los mercaderes siguieron utilizando la notación romana para llevar sus libros.
El italiano Luca Pacioli, mencionado antes, publicó “Summa de Aritmética” en 1494 como libro de texto para las escuelas italianas. Se dice que esta obra fue la primera que explicó el sistema de contabilidad de entrada doble que utilizamos hoy. Pero ya este libro abogaba por la notación decimal posicional utilizando cifras indoarábigas, no solo en el álgebra, sino también para la contabilidad. Pacioli utilizaba la notación aritmética italiana, con una “p” para denotar la adición de dos números y una “m” para la substracción (que venían del “piu” y “meno” italianos). Esta forma de escribir matemáticas ha sido llamada “matemáticas sincopadas”. Representa la transición entre las matemáticas puramente retóricas de la antigüedad y las matemáticas con un mínimo de símbolos, que se tendrá un siglo después.
Pero en Alemania, antes de Ries, fue Johannes Widman. Su conocida obra “Aritmética Mercantil” de 1489 tenía el mismo objetivo que posteriormente los libros de Ries, sin alcanzar su gran popularidad. La obra tampoco contiene mucha notación, pero sí introduce los símbolos “+” y “–“ que utilizamos hoy para representar a la adición y la substracción. Aparentemente los símbolos eran empleados para marcar costales de mercancías. Si había un exceso de peso, de 5 libras, por ejemplo, se marcaba al costal con +5. Si había un déficit de 4 libras, se marcaba con –4. Widman es el primero que utiliza estos símbolos en un libro, los que después serían adoptados en otros países, siempre en competencia con la “p” y la “m” italianas.
La primera parte del libro de Ries, como decíamos, trata del uso de la mesa de cálculo y utiliza la notación indoarábiga en todo el texto. La segunda parte describe como realizar cálculos sin la mesa especial, es decir en el papel, como hacemos hoy. Toda la explicación es muy escueta: muchas veces solo tenemos las columnas de números y el resultado al final, con una explicación de lo que se calculó. Es decir, el libro no muestra los pasos intermedios, cifra por cifra. Un maestro de escuela seguro que tenía que mostrar los pasos descritos verbalmente en el libro, utilizando un pizarrón. Los métodos utilizados son los mismos que hoy utilizamos con papel y lápiz, lo que se llamaba en Europa el “algorismo”, para referirse a la forma de hacer cálculos del matemático persa Al-Juarismi.
De Adam Ries no se sabe realmente mucho. Vivió en un pueblo minero, Annaberg en Sajonia, y para mejorar sus ingresos de contador alguna vez escribió el “Reglamento del pan” de Annaberg. Debido a las variaciones anuales del precio del trigo, el precio del pan necesitaría subir o bajar de una época a otra. Pero para que los mineros pudieran pagar un precio constante por el pan, lo que variaba entonces era el peso de cada pieza. Para evitar engaños, Ries confeccionó la tabla que determinaba cuan ligeros o pesados podían ser las piezas de pan, de acuerdo al precio momentáneo del trigo. En Alemania aún se recuerda esa peculiar forma de regular el precio del pan con la frase “hoy solo cocinamos panes pequeños” cuando necesitamos bajar las expectativas de un proyecto. No sucedió así con el libro de Adam Ries, el contador del pueblo minero. El gran éxito de sus libros de texto le permitió adquirir una gran villa hacia el final de su vida. Pero todavía más relevante es que numerizó a generaciones de lectores.
FOTO: Adam Ries (1492-1559)/ Crédito: Especial
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