Richard Dedekind y la creación de los números
El matemático sostenía que los números eran “creaciones del alma humana”, por lo que se esmeró en demostrar su función y aportó a la humanidad los números irracionales
POR RAÚL ROJAS
En las matemáticas modernas el concepto de número no se toma como algo ya dado de antemano, o caído del cielo, sino como algo que hay que fundamentar. Y la mejor manera de explicar los números es construyéndolos, como se hace precisamente en dos pequeños libros del matemático alemán Richard Dedekind (1831-1916). El primero lleva el sugerente título ¿Qué son y para qué sirven los números? y el segundo se llama Continuidad y Números Irracionales. Cronológicamente, este último folleto de 1872 precede al primero, de 1888, pero conceptualmente hoy los estudiaríamos en el orden mencionado. Ambos folletos han sido reimpresos profusamente. En el de 1888, Dedekind recapitula el camino seguido afirmando que “en la ciencia, lo que es demostrable, no debe ser aceptado sin demostración”. Según Dedekind los números son “creaciones libres del espíritu humano”. Y de eso se trata en los folletos, de exponer esa creación.
El siglo XIX es la época del rigor en las matemáticas. Conceptos que todavía eran aceptables en el pasado, a pesar de ser algo difusos, son sometidos a una revisión crítica en todas las áreas de esta disciplina. La lógica simbólica florece y es desarrollada por matemáticos como George Boole en Inglaterra, o Gottlob Frege en Alemania. Con esta nueva herramienta, y con versiones cada vez más depuradas de la teoría de conjuntos, se comienza a reescribir a las matemáticas como un sistema axiomático cada vez más seguro, como un barco que ningún torpedo conceptual debería poder hundir.
Estos avances se dan en la geometría, en el álgebra, en el cálculo, así como en la llamada teoría de los números. Hacia finales del siglo, el matemático italiano Giuseppe Peano comienza a tratar de desterrar a las palabras de las demostraciones matemáticas para limitarse a la manipulación de símbolos. A pesar de que Peano propuso un lenguaje universal para facilitar la comunicación internacional (el llamado interlingua), en las matemáticas Peano quería evitar que se colaran supuestos o prejuicios lingüísticos subconscientes al hacer las demostraciones. Fue quizá por esa insistencia en evitar el lenguaje y privilegiar los símbolos que a la larga se le prohibió dar clases de matemáticas a los ingenieros en la institución donde laboraba en Turín. Le pidieron que, por favor, se dedicara solamente a la investigación.
Hoy en día el sistema de axiomas que sirven para construir los números enteros positivos lleva el nombre de Peano, aunque realmente ya eran utilizados por otros matemáticos, como Dedekind. Los axiomas son muy intuitivos y lo que dicen, en esencia, es que los números 1, 2, 3, etc., forman una cadena que comienza con el 1 y se eslabona con el siguiente número, y así sucesivamente, sin que aparezcan nunca ciclos en la cadena. Se postula además que en cualquier conjunto de números enteros existe uno que es el menor de todos. Armados con tan sencillos axiomas es posible demostrar muchas de las propiedades de los números enteros, aquellas que en la escuela primaria siempre utilizamos implícitamente sin que se nos ocurriera cuestionarlas. Basados en los axiomas de los números enteros positivos podemos definir operaciones como la adición y la multiplicación de manera rigurosa, como Dedekind muestra en su escrito de 1888.
El problema del continuo, al que el folleto de 1872 sobre los números irracionales está dedicado, puede ser entendido visualizando a los números como longitudes de segmentos. Una manera de concebir a los números es poniendo marcas sobre una línea, como en una regla de las que usábamos en la escuela, donde los centímetros vienen marcados uno tras otro. Empezamos con el cero y en cada centímetro que sigue ponemos una pequeña rayita que corresponde al uno, al dos, al tres, etc.
Los números enteros negativos se pueden construir como derivados de los enteros positivos. Le agregamos simplemente un signo a cada número y escribimos pares de objetos. El tres positivo sería el (+, 3) y el tres negativo sería el (-, 3). Podemos establecer las reglas que nos permiten combinarlos en operaciones aritméticas y de esa manera duplicamos el espacio de los números disponibles. Es solo por conveniencia, y para ahorrar tinta, que a esos números, pares de símbolos, los escribimos como +3 y -3, respectivamente.
Sin embargo, en nuestra línea de los números, con los enteros ya marcados, hay muchos otros puntos que corresponden, por ejemplo, a las fracciones. La fracción ½ o la fracción 2/3 corresponden a la posición en nuestra regla donde podemos medir medio centímetro o dos tercios de centímetro. Esos “quebrados” es lo que los matemáticos llaman los números “racionales”, no porque sean razonables, sino porque se pueden expresar como una relación (ratio, en latín) entre dos enteros.
Habíamos dicho arriba que para construir los números positivos y negativos construimos un par como (+,3). Ahora, para construir los números racionales construimos un par de enteros, de tal manera que un medio sería (1, 2) y dos tercios sería (2, 3). Es sólo por conveniencia en la notación que los escribimos como ½ y 2/3, pero lo realmente importante es que estamos armando pares de otros números, ya construidos con anterioridad. Es como un sistema de Legos. Las piezas ya ensambladas nos sirven de ladrillos para nuevas construcciones.
Ya teniendo los números fraccionarios podemos realizar todas las operaciones de la vida diaria, en donde operamos con una precisión limitada. Por ejemplo, al número ½ lo escribimos como 0. 5.
En nuestra línea de los números podríamos pensar que ya cubrimos todos los números posibles al haber creado los racionales (o “quebrados”). Sin embargo, fueron los matemáticos griegos, específicamente la escuela del gran Pitágoras, los que se dieron cuenta de que, aun incluyendo los números fraccionarios o racionales, con eso no quedaban cubiertas todas las posiciones posibles en nuestra línea. Hay números, como la raíz cuadrada de dos, que es posible marcar sobre la línea de nuestros números, utilizando una construcción geométrica, pero que no son expresables como la relación entre dos enteros. Decimos que la raíz cuadrada de dos es “irracional” y eso implica que escribirla requeriría un número infinito de decimales sin un ciclo que se repita. Una aproximación es 1. 4142, utilizando cuatro cifras después del punto, o bien 1. 41421356 utilizando ocho. Tendríamos que escribir una infinidad de decimales para irnos acercando paulatinamente al valor exacto de raíz de dos, llegando cada vez más cerca, pero sin nunca poder realmente arribar.
En el siglo del rigor, el siglo XIX, era esta una situación poco satisfactoria. Se podía definir a los enteros positivos siguiendo la técnica de Dedekind y Peano. Armando pares de símbolos se podía pasar a los enteros con signo. Construyendo nuevos pares se podía pasar a los números racionales. Pero había que encontrar una definición rigurosa y constructiva de todos los números, incluidos los irracionales, para no dejar ningún hueco en la línea de los números, es decir, para poder imaginarla como un continuo de puntos.
La primera solución que los matemáticos propusieron es muy ingeniosa. Si pensamos en una ciudad a la que llegan muchas carreteras, podemos especificar a esa ciudad diciendo “es el punto donde convergen todas estas carreteras”. En el caso de la raíz cuadrada de dos, las carreteras son todas las aproximaciones decimales que podamos encontrar que se acercan más y más al punto en el continuo que corresponde a la construcción geométrica de la raíz cuadrada de dos. Por ejemplo, la sucesión de decimales 0. 99, 0. 999, 0. 999, 0. 9999 se acerca cada vez más a 1. Pero también la sucesión de decimales 0. 98, 0. 998, 0. 9998 lo hace. Si metemos en una bolsa todas esas series de aproximaciones que se acercan a uno, y la bolsa la marcamos con “este es el uno”, esa es una definición rigurosa del número uno, en el continuo. Lo mismo podemos hacer con la raíz cuadrada de dos. Sólo tenemos que especificar cómo nos aproximamos al número en cuestión. Es como si, para referirse a mi persona, otras personas anotaran al conjunto de todos mis amigos (que seguramente es único). Al ver la lista de amigos, sabrían que se trata de mí.
Aquí es donde volvemos al folleto sobre la Continuidad y los Números Irracionales. Richard Dedekind, trabajando en Brunsviga, tuvo otra idea y en cierta manera regresó al “truco” original de construir pares de objetos para acceder a un nuevo espacio numérico. Dedekind inventó los “cortes” que hoy llevan su nombre.
Si pensamos en la raíz cuadrada de dos, posicionada en la línea de los números, a su izquierda están todos los números negativos y aquellos positivos cuyo cuadrado es menor que dos. A su derecha todos los números cuyo cuadrado es mayor que dos. Definimos a la raíz cuadrada de dos como un par de bolsas: en la primera están todos los números racionales a su izquierda y en la segunda bolsa todos los números racionales a su derecha. Este par de bolsas representa a la raíz cuadrada de dos. Claro que se trata de bolsas con un número infinito de puntos, o números, pero eso no es un problema conceptual. En cada bolsa solo hay fracciones racionales, relaciones de enteros, pero las dos bolsas, tomadas juntas, representan algo nuevo, la raíz de dos.
Además, es posible definir la adición de “cortes de Dedekind” utilizando sólo fracciones. En los cortes sólo hemos incluido números racionales y por eso se pueden combinar los contenidos de las bolsas de manera aditiva o multiplicativa. De esa manera se obtiene una definición de lo que se llama los “números reales”, de manera tan rigurosa como la construcción inicial de los números enteros positivos, y esos números pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos.
Dedekind estaba muy orgulloso de su construcción del continuo, sobre la que comenzó a cavilar en 1858. Fue en el salón de clases que se dio cuenta de que todas las argumentaciones sobre el continuo apelaban a nuestra intuición geométrica sin que hubiera una demostración puramente aritmética. Pero crear los números era para Dedekind un ejemplo notable de la capacidad del espíritu matemático de “relacionar cosas con otras cosas”, para poder comprenderlas, especialmente en lo que se refiere a la definición rigurosa del continuo, es decir, de los números reales. Casi simultáneamente otros matemáticos produjeron definiciones equivalentes de los números reales, especialmente Georg Cantor, matemático en la Universidad de Halle. Sin embargo, Dedekind siempre pensó que su técnica era la más sencilla e intuitiva.
El gran matemático Leopold Kronecker alguna vez dijo que Dios creó los números enteros y todo lo demás era obra humana. Partiendo de esta máxima, habría sido Dedekind uno de los que creó los números reales con su folleto imperecedero de 1872.
FOTO: El matemático alemán Richard Dedekind / Crédito: Especial
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