La economía como un juego de salón
Aunque John von Neumann y Oskar Morgenstern matematizaron la economía, no perdieron de vista que este campo respondía a una serie de estrategias similares a las que se emplean en la lógica del juego
POR RAÚL ROJAS
El excepcional investigador húngaro-norteamericano John von Neumann (1903-1957) se desplazó toda su vida con la facilidad de un pez entre todas las disciplinas: las matemáticas, la física, la química, la computación. Trabó amistad en la Universidad de Princeton con el economista austríaco Oskar Morgenstern (1902-1977) y ambos concluyeron que las investigaciones de 1928 de von Neumann acerca de juegos de salón, podían extenderse al ámbito de la economía. El resultado de su colaboración fue la publicación, en 1944, del voluminoso y espeso libro Teoría de juegos y comportamiento económico, el cual es considerado hoy como la obra fundacional del tratamiento matemático de las interacciones inherentes a los juegos. Los autores ponen en claro desde el principio de la monografía que se trata de matematizar la economía, la que hasta entonces se había resistido a adoptar una orientación formal por muy diversas razones.
El punto de partida de von Neumann y Morgenstern, es que el comportamiento de los actores económicos no se puede especificar simplemente como en la física, con unas cuantas ecuaciones que no tienen en cuenta la interacción consciente de personas interesadas en alcanzar objetivos contrapuestos (los agentes económicos). El análisis debe ir también más allá del cálculo de probabilidades porque los actores varían su comportamiento de acuerdo con estrategias que responden a contra-estrategias. Ya desde la primera mitad del siglo XIX, el general prusiano von Clausewitz había hecho notar, en Sobre la guerra, que un conflicto bélico es muy parecido a un juego de azar. Hoy la “teoría de juegos” es aplicada para entender las opciones estratégicas que tienen bandos contrarios en caso de un conflicto armado, así como para modelar coaliciones y optimizar subastas. En todos esos casos hay que considerar la información y las opciones de cada actor, así como las posibles reacciones del contrario, como en el ajedrez. El homo oeconomicus no puede ser modelado simplemente como una partícula inerte guiada por un campo de fuerza estático. Sus acciones y decisiones voluntarias modifican profundamente las condiciones iniciales del problema, es decir, el contexto del juego mismo.
Un ejemplo muy sencillo del tipo de problemas que se tratan en la teoría de juegos es el llamado “dilema de los prisioneros”, que voy a ejemplificar aquí con una variante moderna que es fácil de comprender (pero no le digan a von Neumann). En el futbol tenemos con el tiro penal un minijuego entre dos personas con intereses completamente opuestos. El tirador tiene tres opciones: tirar a su derecha, a su izquierda o hacia el centro. El guardameta tiene las mismas tres direcciones en las que se puede arrojar o plantar, buscando anticipar la decisión del tirador. El portero tiene que decidir de antemano, en la mayor parte de los casos, ya que el disparo ocurre tan rápido que no puede esperar a distinguir inequívocamente de qué lado va a llegar la pelota.
Pero es aquí donde comienzan las consideraciones estratégicas: si un tirador diestro utiliza preferentemente la pierna derecha, normalmente puede tirar más fuerte hacia la izquierda, que es su llamado “lado natural”. Prefiere ese lado porque anota más frecuentemente por ahí. Pero entonces el guardameta puede anticipar que hacia allá irá el tiro y se puede arrojar hacia ese lado para intentar detener el disparo. Eso lo sabe el tirador, quien entonces puede engañar al portero tirando hacia el lado contrario a su lado natural. Pero eso lo sabe el arquero, quien puede sospechar que esta vez el tirador lo querrá sorprender. Y así al infinito.
Al final de cuentas lo mejor para el tirador es escoger al azar la dirección del disparo, con una ligera preferencia para su lado natural. Y lo mejor para el arquero es arrojarse aleatoriamente, con una ligera preferencia para ese lado natural del tirador. Conociendo las estadísticas de goles anotados por la izquierda, derecha o centro, por el tirador, se puede calcular la frecuencia óptima con la que el tirador, pero también el arquero, deben elegir cada una de las tres opciones. Por eso el incomparable jugador alemán Lukas Podolski alguna vez enriqueció el acervo de galimatías futbolísticas diciendo que el futbol es “como el ajedrez, pero sin los dados”.
En la teoría de juegos se analizan juegos de una sola persona, dos personas, o más de dos personas. A partir de dos jugadores surge la posibilidad de cooperar con el contrario, a menos que se trate de un juego en el que el ganador se lleva todo. A partir de tres personas surge la posibilidad de formar coaliciones, para perjudicar a uno de los tres jugadores. Y así sucesivamente, hasta llegar a juegos muy complejos de más de tres, cuatro, cinco personas, etc.
Los juegos pueden ser de “suma constante”, es decir, hay una suma fija en disputa que se reparte al final, como sucede en las loterías. Pero el juego puede ser también de suma variable, algo que sucede frecuentemente en la economía, donde diversos tipos de cooperación pueden llevar a las situaciones “win-win”.
En muchos juegos se puede especificar exactamente con una tabla la acción que tiene que tomar cada jugador para contrarrestar cada acción del contrario. En el caso de los penales, si el tirador opta por tirar a la derecha, en la tabla se especifica lo que sucede si el guardameta se arroja hacia ese mismo lado, es decir, con qué probabilidad puede atajar el disparo. Ya dijimos que lo mejor para el tirador es mantenerse “impredecible” y por eso utiliza lo que llama una “estrategia combinada”, por ejemplo, utilizar un dado para decidir si tira por la derecha, por la izquierda o por el centro. Claro que se trata de un dado mental.
Si la tabla para un juego de estrategia como el que comentamos está dada, cada jugador trata de maximizar su ganancia. Digamos que el tirador trata de maximizar la probabilidad de anotar y el guardameta trata de minimizar esa probabilidad. La ganancia que se obtiene seleccionando la estrategia mixta más adecuada es el resultado “maximin” (el tirador, por ejemplo, maximiza el mínimo de goles que le impone el guardameta). Lo notable en juegos de suma cero con una tabla de ganancias positivas es que el resultado “minimax” (el guardameta minimiza el máximo de goles que le impone el tirador) es idéntico. Es esto lo que se llama el “Teorema Minimax” de von Neumann, demostrado en 1928. Según von Neumann, sin ese teorema “no habría teoría de juegos”. El teorema establece las condiciones de equilibrio para juegos de suma cero.
En la economía, escriben von Neumann y Morgenstern al comienzo de su libro, se trata de maximizar la “utilidad” de los agentes económicos. Tratar de hacerlo es lo que llamamos un “comportamiento racional”. En una economía de un individuo, a la Robinson Crusoe, sólo esa persona trata de maximizar su utilidad y todos los datos están fijos. Sin embargo, en una economía de intercambios nos encontramos con personas maximizando su utilidad de manera independiente y además en competencia, de manera que todos los datos económicos (precios, utilidades, volumen de producción) están en flujo constante.
Los dos autores establecen, después del primer capítulo económico, las reglas que van a considerar. Hay juegos basados en “movimientos personales” y otros basados en “movimientos aleatorios”. El ajedrez sería un ejemplo del primer caso, ya que las piezas no se mueven de manera probabilística. El backgammon sería un ejemplo del segundo tipo de juego, ya que tiene una componente aleatoria. En juegos en general, estamos suponiendo que los actores están perfectamente informados sobre las ganancias esperadas y las acciones a su disposición. De esa manera la teoría de juegos se puede especificar de manera axiomática para tener todas sus variantes en cuenta.
No voy a decir que el libro de von Neumann y Morgenstern es de fácil lectura. Ha sido rebasado ya por aproximaciones teóricas más sistemáticas y al mismo tiempo más escuetas. El capítulo III sobre juegos de dos personas y suma cero es quizás el más accesible. Ahí los autores operan con tablas de decisión y muestran que las operaciones que escogen a la mínima ganancia de un renglón y las que escogen a la máxima ganancia en una columna son “conmutativas”, es decir, se puede aplicar la maximización de expectativas después de la minimización, o viceversa, el resultado es el mismo. De ahí se puede partir para demostrar rigurosamente el teorema de von Neumann. Los capítulos posteriores analizan muchos otros tipos de juegos, con un número variable de participantes, incluido el póker y el bluffing que le es propio.
Baste lo dicho para recalcar la importancia de la obra que comentamos. Los economistas tradicionalistas siempre sospecharon de la teoría de juegos como una aproximación a su disciplina innecesariamente matematizada. Eso comenzó a cambiar en la década de los 60, pero fue hasta 1994 que tres teóricos de teoría de juegos “puros”, es decir matemáticos o economistas matemáticos, obtuvieron el Premio Nobel de Economía: John Nash, Reinhard Selten y John Harsanyi. Ya antes Kenneth Arrow había obtenido el Premio Nobel por su teoría de equilibrio general y el “teorema de la imposibilidad”, inspirado por la teoría de decisiones óptimas. Aún así, los premios de 1994 causaron sorpresa ya que durante años se había excluido a los representantes de la teoría de juegos. El caso de John Nash es muy relevante porque logró extender el tipo de equilibrio estudiado por von Neumann a lo que ahora se llama “equilibrio de Nash”, un concepto que es muy útil en situaciones en las que no solamente hay competencia pura, sino una especie de mezcla entre la cooperación y la competencia. La vida del atribulado Nash y su contribución a la teoría de juegos ha sido descrita en el bestseller Beautiful Mind, de Sylvia Nasar.
Hoy en día la economía teórica sería impensable sin la teoría de juegos. Un ejemplo relevante es el de las subastas. Los economistas Paul Milgrom y Robert Wilson obtuvieron el Premio Nobel de Economía por haber aplicado la teoría de juegos a este instrumento de mercado. Muchos gobiernos ahora no simplemente licitan un contrato, sino que utilizan diversos tipos de subastas apara asignarlos. Un caso moderno es el de las que se hacen para conceder espacio en el espectro electromagnético, para diversos tipos de telecomunicación (por ejemplo, para teléfonos celulares). Milgrom y Wilson modelaron la información que los participantes van obteniendo durante una subasta realizada en varias etapas, de manera que los compradores pueden conseguir ir convergiendo a una mejor estimación de los precios reales.
A la teoría de juegos creada por von Neumann y Morgenstern en 1944 se le ha llamado “la exploración de la libertad en un contexto restrictivo”, porque es la teoría de los efectos que tienen nuestras acciones voluntarias en el contexto de las acciones de los demás.
Es cómo en el futbol, donde un tiro penal puede convertir a un jugador ejercitando su libre albedrío en semidiós o en villano.
FOTO: Los economistas Oskar Morgenstern y John von Neumann/ Shelby White and Leon Levy Archives Center/Universidad de Princeton
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