Gerolamo Cardano y el arte de hacer álgebra
En 1545, se publicó la obra Ars Magna, escrita por el científico italiano, que ha sido denominada como uno de los tres libros clave del Renacimiento junto con Revolutionibus de Copérnico y la Anatomía de Vesalio; su objetivo es mostrar cómo resolver ecuaciones polinomiales
POR RAÚL ROJAS
Ars Magna es un libro cuyo título hace referencia al “magno arte” del álgebra, especialmente el arte de resolver ecuaciones. Fue publicado en 1545 por el excéntrico científico italiano Gerolamo Cardano (1501-1576), una de esas aves del paraíso con las que a veces nos topamos en la milenaria historia de las matemáticas. Cardano, nacido en Padua, fue médico, matemático, astrónomo, biólogo, filósofo, y hasta apostador. Por gente como él, como Leonardo, como Galileo, es que se habla de los polímatas como “hombres del Renacimiento”, es decir, son aquellos que podían sobresalir en todas las ramas de la ciencia y del arte.
Ars Magna ha sido llamado uno de los tres libros clave del Renacimiento, junto con Revolutionibus de Copérnico y la Anatomía de Vesalio. El libro tiene un solo propósito: mostrar como resolver ecuaciones polinomiales. Cuando en un problema matemático aparece la incógnita (llamémosla x), junto con otros números que se suman, substraen o multiplican, es relativamente fácil despejar el valor de x. Sin embargo, si la incógnita es incluida en la ecuación con su valor al cuadrado, es más arduo encontrar la solución. Existe una fórmula para ello que nos enseñan en la escuela secundaria. Y si la incógnita aparece con su valor a la tercera potencia, tenemos una ecuación cúbica, que ya es más difícil de resolver. De hecho, antes de Cardano se sabía como resolver ecuaciones cuadráticas, pero no se conocía todavía un método general para resolver ecuaciones cúbicas. En Ars Magna Cardano no sólo presenta la forma de resolver las cúbicas, sino también ecuaciones de cuarto grado, es decir aquellas en las que la incógnita aparece elevada a la cuarta potencia. Lo que Cardano logró, para decirlo de manera muy telegráfica y reduccionista, fue “resolver el problema de la ecuación cúbica”.
Los métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas fueron exportados a Europa a través de las traducciones de los matemáticos árabes. Un libro que jugó un papel central en ese proceso fue el Liber Álgebrae (como se le llamó en traducción) de Al-Juarismi, un matemático de origen persa que trabajó en Bagdad en el siglo VIII de nuestra era. Los árabes les transmitieron a los europeos el sistema decimal basado en las cifras indoarábigas, y además métodos algebraico-geométricos de solución de ecuaciones. En Liber Algebrae, Al-Juarismi expone como resolver diferentes variantes de problemas cuadráticos, sin utilizar ningún tipo de simbolismo, sino solamente explicaciones puramente verbales que, en muchos casos, se ciñen a un procedimiento geométrico para lograr “completar el cuadrado”, como se dice.
Ars Magna sigue una estrategia similar a la de Al-Juarismi, pero ya con un poco de notación, aunque la descripción de la solución de problemas utiliza números específicos, como ejemplos. Existen traducciones al inglés que utilizan la notación matemática moderna, escribiendo además cada ecuación en una línea separada. Sin embargo, no le hacen justicia al original ya que Cardano escribía todo de corrido, sin separar las ecuaciones del texto y utilizando palabras en lugar de los símbolos modernos. Para denotar igualdad, Cardano escribe equalis, la variable es la “cosa”, su tercera potencia es cubus, etc. El libro de Cardano es un ejemplo notable de la transición durante el Renacimiento de las matemáticas retóricas, sin símbolos, a las matemáticas sincopadas, es decir, casi retóricas, pero ya utilizando algunas convenciones simbólicas dentro de los párrafos del texto.
En el folclor matemático es famosa la historia de la disputa entre Niccolo Tartaglia y Gerolamo Cardano, precisamente en torno a la solución de la ecuación cúbica. Tartaglia era un matemático italiano que tradujo a Euclides al italiano y se ocupó de problemas matemáticos diversos. Logró encontrar una solución para dos casos especiales de las ecuaciones cúbicas. Provisto de ese conocimiento, aceptó el reto de otro matemático, Antonio Maria Fiore, quien también decía poder resolver un caso especial de la ecuación cúbica. Curiosamente, en aquella época se montaban competencias públicas entre académicos italianos, que incluían una apuesta y quizás una recompensa monetaria. Tartaglia logró resolver los 30 problemas que le planteó Fiore dentro de los 30 días que tenía, pero Fiore no pudo resolver los problemas planteados por Tartaglia, quien salió triunfador y se hizo famoso en el medio académico. Todo eso ocurrió en 1535.
Así estaban las cosas cuando en 1539 Cardano comenzó a escribir Ars Magna. Conociendo la fama de Tartaglia, y ya que estaba trabajando en la solución de ecuaciones cuadráticas y cúbicas, lo invitó a que lo visitará en Milán. Durante la visita lo convenció de que le revelara la fórmula para resolver el caso especial que Tartaglia conocía, lo que aquel hizo, pero pidiéndole que se abstuviera de publicar el secreto hasta que él lo hubiera hecho. Le proporcionó la fórmula en forma de poema, sin demostración. Sin embargo, en 1543 Cardano se enteró de que el maestro de Fiore, Scipione del Ferro, ya había descubierto la fórmula de Tartaglia muchos años antes. Cardano se sintió liberado de su promesa y publicó, no solo la solución especial de Tartaglia en Ars Magna, sino la solución general a la ecuación cúbica. El aporte de Cardano fue encontrar una manera de reducir cualquier cúbica al caso especial ya resuelto por Tartaglia. Es decir, se procede en dos pasos: primero se aplica la transformación de Cardano y al resultado se le aplica el método de Tartaglia. Alguna vez me enseñaron todo eso en secundaria y nuestro libro de texto llamaba a la fórmula el “método de Tartaglia-Cardano”. En la vida real los dos matemáticos quedaron completamente distanciados. Tartaglia nunca le perdonó a Cardano haberse adelantado con la publicación del secreto.
Es notable también que Ludovico Ferrari, estudiante de Cardano, logró reducir la solución de la ecuación cuártica (de grado cuatro) a la solución de una ecuación de menor grado, lo que Cardano comunica en el capítulo 39 de Ars Magna, atribuyéndole la solución a Ferrari.
Así que, como el lector puede apreciar, la solución de la ecuación cúbica fue toda una novela policiaca sobre la que se han escrito dramas y hasta obras de teatro. A estas alturas es más lo que se ha tergiversado sobre la disputa, que lo que realmente ocurrió. Ayuda que Cardano hubiera sido una personalidad tan extravagante. Versado en la astrología, se atrevió a confeccionar el horóscopo de Jesucristo en 1554. Quizá por eso fue arrestado en 1570 por “impiedad”, aunque no se sabe exactamente. Después de ser liberado pasó los últimos cinco años de su vida en Roma, dedicado a la medicina y protegido por el Papa.
Pero volvamos a Ars Magna. Lo primero que hace Cardano en el libro, después de regodearse en anunciar sus resultados como lo más excelso de las matemáticas, es definir 22 tipos de ecuaciones que quiere resolver. El problema aquí es que Cardano no dispone de una notación algebraica que le permita operar con números positivos y negativos sin distinción. En sus ecuaciones Cardano no admite coeficientes negativos. En vez de escribir -10x del lado izquierdo de una ecuación, escribe ese término en el lado derecho como +10x. En una ecuación cúbica hay varios coeficientes y hay muchas combinaciones positivas y negativas de los mismos. Al escribir todo, solo con números positivos (reordenando el lado izquierdo y derecho de la ecuación), se dan entonces esas 22 variantes para la ecuación cúbica (incluyendo a la cuadrática). Con la notación moderna todas esas 22 variantes pueden ser cubiertas con una sola expresión.
Ars Magna es un libro central en la historia de las matemáticas porque en sus páginas hacen su aparición, por primera vez, lo que hoy llamamos los “números complejos”. Estos son necesarios cuando queremos extraer la raíz cuadrada de un número negativo. Para Cardano era difícil operar con cantidades negativas, pero los aceptaba como soluciones de una ecuación. Si queremos encontrar un número que al multiplicarlo por si mismo nos da 4, por ejemplo, hay dos soluciones: el dos positivo y el dos negativo. A eso Cardano lo llamaba soluciones “dobles”. Sin embargo, a la solución negativa la denominaba la “solución falsa”. Es ésta una confusión que persistirá hasta el siglo XVII.
Ahora bien: en la formula de Tartaglia-Cardano para la solución de la ecuación cúbica puede suceder que se tenga que extraer la raíz cuadrada de un número negativo. Cardano descubrió que, si seguía operando con esos radicales negativos, muchas veces se eliminaban mutuamente y en el resultado final sólo aparecían números convencionales. Sin saberlo, Cardano había descubierto los números complejos y, además, que se puede operar con ellos de la misma manera que con los números convencionales. Se les puede sumar, restar, multiplicar y dividir. En el capítulo 37 de Ars Magna Cardano ofrece un ejemplo.
Lo que siguió fueron varios siglos de investigación matemática hasta que realmente se resolvió la ecuación cúbica. El problema conceptual es que una ecuación cúbica puede tener dos soluciones con números complejos y estos no eran comprensibles aún. Otro italiano, Rafael Bombelli, investigó la solución de Tartaglia-Cardano para la ecuación cúbica y tomo más en serio la posibilidad de seguir operando con los radicales negativos. A la raíz cuadrada de menos uno la llamó piu di meno y mostró como se podía operar algebraicamente con este tipo de expresiones para eliminar los piu di meno.
Todavía un siglo después de Cardano el asunto no estaba aún completamente finiquitado. Una forma de evitar trabajar con números complejos era reescribiendo la ecuación cúbica como un problema de variables en el plano (con dos coordinadas). Aparentemente esto es lo que hacía Newton. Tenemos que esperar hasta que el gran matemático Leonhard Euler denomine al piu di meno de Bombelli como el número imaginario, denotado por la letra i, para tener un álgebra de los números complejos como extensión de los números que los matemáticos llaman los números reales.
El gran mérito de Cardano en Ars Magna es entonces haber encontrado la transformación que permitía aplicar el caso especial ya resuelto por Tartaglia para resolver “casi” cualquier cúbica. Y escribo “casi” porque Cardano no considera ecuaciones con coeficientes negativos, y a pesar de las maromas que hace para reordenar los términos de las ecuaciones, los números negativos reaparecen en pasos intermedios y hasta como soluciones. A los números complejos los intuye, pero no los comprende. Aún así, Ars Magna es el punto de partida para una galopada que durará casi 200 años, hasta Euler, en los que se formalizará la forma de operar con los números complejos. Pero será en realidad hasta 1831 que el gran Carl Friedrich Gauss los bautizará como “números complejos”. El mismo Gauss demostrará lo que los matemáticos celebran como el “Teorema Fundamental del Álgebra” y explicará, de una vez por todas, cuantas soluciones
complejas puede tener una ecuación polinomial.
Sobre Cardano existen muchas historias, casi todas apócrifas. Pero una de ellas es tan buena que merecería ser cierta: según la leyenda Cardano predijo en base a su horóscopo que moriría a los 75 años. Al llegar a esa edad tomó vino envenenado para que el pronóstico se realizara.
Lo único cierto sobre Cardano, más allá de las leyendas urbanas, es que nos legó Ars Magna y con ello resolvió, en esencia, un problema que estaba abierto desde la antigüedad, pero cuya solución rigurosa aún tomaría otros 300 años después de su obra cumbre.
FOTO: Portada de la primera edición de Ars Magna/ Especial
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