Lagrange y la mecánica analítica
Un siglo después de que aparecieran las tres leyes de Newton que ayudaron al estudio de problemas mecánicos, el matemático italiano perfeccionó su resolución, haciendo un parteaguas en la historia de las ciencias naturales
POR RAÚL ROJAS
La humanidad se la ha pasado siglos examinando el equilibrio de sistemas mecánicos y en movimiento. Un puente no se cae porque la carga de sus estructuras está adecuadamente soportada por columnas. Una palanca nos permite levantar pesos enormes, como ya sabía Arquímedes, quien sólo pedía un punto de apoyo para poder mover al mundo. Galileo estudió la caída de objetos que tiraba desde torres o dejaba deslizarse en planos inclinados. Los astrónomos se interesaron desde siempre por el movimiento de los planetas y algunos, como Kepler, creían ver en sus órbitas el efecto de fuerzas “magnéticas”. En 1687 Isaac Newton sorprendió al mundo científico con la publicación de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, una obra que mostró como obtener las leyes de Kepler para el movimiento planetario utilizando tres leyes dinámicas, además de una fórmula para calcular la atracción gravitacional entre masas cualesquiera. Las famosas tres leyes de Newton resultaron ser todo lo que se requiere para explicar el equilibrio de sistemas estáticos y el movimiento de sistemas que no están perdiendo energía. El libro fue toda una revolución en la historia de la física.
Casi 100 años después de la obra cumbre de Newton, en 1788, el italo-francés Joseph-Louis Lagrange pudo simplificar aún más el estudio de los problemas mecánicos al analizar problemas sujetos a lo que se llama “restricciones de movimiento”. Este tipo de problemas pueden ser resueltos aplicando directamente las leyes de Newton, pero en forma muy engorrosa. Lagrange hace algo nuevo, formaliza lo que ahora se llama la aplicación de “principios variacionales” en la mecánica con la publicación de 1788 a 1789 de los dos volúmenes de su obra maestra, la Mecánica Analítica. Después de Lagrange la física teórica nunca volvería a ser la de antes. Este libro constituye un verdadero parteaguas en la historia de las ciencias naturales.
Las tres leyes de Newton son fáciles de recitar: a) Todos los cuerpos mantienen su estado de movimiento en ausencia de fuerzas externas, b) Un cuerpo sujeto a una fuerza es acelerado de manera proporcional a la fuerza aplicada e inversamente proporcional a su masa, y c) A toda acción corresponde una reacción, de la misma magnitud, pero en sentido contrario. Una manzana cae de un árbol, acelerada por la atracción de la tierra. Cuando la manzana impacta en el suelo, sufre un golpe hacia arriba, pero la tierra sufre un golpe de la misma intensidad, dirigido hacia abajo. Todo eso es fácil de calcular con las leyes de Newton. Tan fácil que lo enseñan en la escuela preparatoria.
Mucho más complicado es resolver problemas dinámicos cuando los cuerpos no se mueven libremente. Una perla con un agujero por el centro, incrustada en un anillo circular sostenido verticalmente, cae también hacia abajo, pero su trayectoria no es libre. La perla se desplaza a lo largo del anillo, describiendo un círculo, hasta que llega a su parte más baja. Eso representaría una “restricción” al movimiento como la que mencionaba arriba. También una piedra en una honda se mueve primero en un círculo hasta que la lanzamos. En una curva de la carretera sentimos como el auto nos “presiona” para que no salgamos volando del auto, obligándonos a movernos a lo largo de un circulo que aproxima la forma del carril. Es decir, en todos estos problemas hay fuerzas adicionales que están actuando para mantener la “restricción” al movimiento. En el ejemplo de la perla en un anillo, éste ejerce una fuerza sobre la perla que la obliga a moverse circularmente. El análisis de estos ejemplos se vuelve muy complicado al tener que considerar la interacción de todas las fuerzas presentes, por ejemplo, la de la gravedad sobre la perla, pero también la del anillo sobre ese objeto incrustado.
Aquí es donde entra en escena Lagrange. El gran fisicomatemático hizo dos cosas para poder “eliminar” aquellas fuerzas correspondientes a restricciones de las ecuaciones de movimiento. Por un lado, mostró como expresar todos esos problemas dinámicos utilizando una descripción del desplazamiento íntimamente ligada a las restricciones del problema, y por otro, como se podía formular una sola ecuación que, al resolverla, nos podía decir como la gravitación, por ejemplo, puede regir la aceleración de un objeto a lo largo de las restricciones existentes.
Expliquémoslo más despacio. En la vida diaria podemos describir la posición de un objeto escogiendo ejes de referencia (las dos dos calles que se cruzan en la esquina de mi casa, por ejemplo) y midiendo la distancia del objeto con respecto a la calle de referencia en la dirección norte-sur. Se complementa con la distancia del objeto a la calle de referencia en la dirección este-oeste. Es lo que se llama “coordenadas cartesianas”, que se pueden complementar con la altura del objeto sobre el piso, como se hace con las coordenadas GPS que nos proporcionan los teléfonos celulares. Utilizando ese tipo de coordenadas, el mundo queda “cuadriculado” y es relativamente fácil describir movimiento en línea recta (“el auto va circulando de este a oeste”). Pero no es tan fácil describir movimiento circular.
Si pensamos en la perla del problema mencionado antes, ésta se encuentra “atrapada” en el anillo y sólo puede desplazarse a lo largo de él. Es decir, su posición puede ser descrita por la distancia a lo largo del anillo con respecto a una marca de referencia grabada en su perímetro. Decimos que el problema tiene un solo “grado de libertad” y cualquier posición de la perla en el anillo puede ser descrita por un solo número. La perla reside en realidad en nuestro mundo de tres dimensiones, pero su movimiento está restringido a una sola dimensión, que, en este caso, está dada por el perímetro de un círculo. Esta descripción es lo que ahora llamamos “coordenadas generalizadas”, una innovación ampliamente explotada por Lagrange en la Mecánica Analítica. Utilizando coordenadas generalizadas ya no necesito cuidar en mis fórmulas que la perla respete las restricciones de movimiento. No le queda otra, lo hace automáticamente, ya que su posición esta circunscrita al círculo, en mi descripción con un solo número.
Esa fue la primera innovación de Lagrange, que aunada a la segunda nos permite hoy resolver complicados problemas dinámicos sin tener que remitirnos explícitamente a Newton y sus leyes. La segunda innovación fue expresar problemas de movimiento como problemas de optimización de una expresión que hoy llamamos el “lagrangiano”. Hay muchas formas que puede adoptar esa expresión, pero la más común y es la que se le enseña a los físicos en su primer curso de mecánica teórica, involucra a la energía del sistema que estamos examinando. Un objeto puede poseer energía “en potencia”. Por ejemplo, en el caso de la manzana que mencionábamos, si la dejamos caer, su energía potencial se transforma en energía del movimiento (lo que los físicos llaman la energía cinética). En el ejemplo de la perla tenemos que especificar la energía potencial de la perla en el anillo en términos del único grado de libertad. También su energía cinética se puede describir relacionado la velocidad de la perla sobre el anillo en términos de su posición. La diferencia de las dos energías es el llamado “lagrangiano” para este problema. No es necesario incluir las fuerzas operando para mantener las restricciones (la fuerza del anillo sobre la perla, por ejemplo) porque esa fuerza no altera el balance energético del problema. Por supuesto que estamos suponiendo que no hay pérdidas de energía por fricción.
Lo que Lagrange pudo demostrar en la Mecánica Analítica es que las leyes de Newton se pueden encapsular en una sola ecuación (que hoy se llama de Euler-Lagrange), cuya solución nos proporciona el cambio de la posición y velocidad del objeto a lo largo del tiempo, en este caso, de la perla deslizándose incrustada en el anillo. Resolver este problema integrando todas las fuerzas involucradas es mucho más complicado. Hacerlo con los métodos de Lagrange es sencillísimo.
Lagrange tuvo varios antecesores. Antes de él se comenzó a tratar problemas de la estática utilizando lo que se llama el “principio del trabajo virtual”. La idea es que, si algo no está en equilibrio, un puente, por ejemplo, todo el sistema se desplaza y al hacerlo produciría “trabajo”. Pero un sistema en equilibrio estable, si es perturbado mínimamente, no debe alterarse, es decir, no debe producir trabajo. Eso se puede analizar sobre el papel: podemos calcular que sucede si movemos los diversos componentes una distancia pequeñísima (que por eso se llama un desplazamiento virtual). Si el “trabajo virtual” es cero, todo está en equilibrio.
Un contemporáneo de Lagrange, el físico Jean-Baptiste le Rond d’Alembert, extendió el principio del trabajo virtual al caso de problemas dinámicos, introduciendo en las ecuaciones de movimiento lo que se llama “fuerzas inerciales”. Es decir, un objeto al que se le aplica una fuerza, responde con una fuerza idéntica (en sentido contrario) determinada por su masa y su aceleración. Se trata de la segunda y tercera leyes de Newton, pero incorporadas de manera implícita en el análisis del movimiento. Es esto lo que se llama el “principio de d’Alembert”, con el que problemas dinámicos se pueden tratar como si fueran problemas de la estática.
Ahora bien, Lagrange pudo mostrar en la Mecánica Analítica que tanto el principio del trabajo virtual, como el de d’Alembert, podían reducirse a un proceso de optimización de lo que arriba llamamos el lagrangiano. Una sola ecuación encapsula así ambos principios, pero, lo que es más importante, encapsula las leyes de Newton y además no es necesario ocuparse de las fuerzas que mantienen a los objetos en sus trayectorias restringidas ya que no contribuyen al balance energético.
La ecuación de Euler-Lagrange puede ser utilizada para resolver otros problemas de los llamados variacionales, como, por ejemplo, encontrar la trayectoria por la que se puede deslizar un objeto para llegar lo más rápido posible al suelo, un metro por delante de donde comenzó a caer. O se puede demostrar que el círculo es la figura geométrica que, para un perímetro dado, contiene el área máxima. Por eso se dice que con la formulación de la mecánica en términos del lagrangiano, el físico italo-francés redujo toda la mecánica a un problema de optimización. Un amigo mío decía que en la mecánica teórica solo hay que saber escribir el lagrangiano del problema y el resto es “darle vueltas a la manivela”.
Habría mucho más que decir sobre la Mecánica Analítica. Lagrange se jactaba de que no incluyó ningún diagrama en los dos volúmenes. La notación de la obra es aún arcaica y difícil de seguir, acostumbrados como estamos a la notación moderna. El primer volumen está dedicado a la estática, pero incluye también secciones sobre problemas de fluidos y objetos elásticos. El segundo volumen trata de la dinámica, y es aquí donde se aplica repetidamente el formalismo al que nos hemos estado refiriendo. El tratado fue celebrado como un gran triunfo del autor por haber llevado la mecánica “al grado más alto de perfección”. Pero el mayor homenaje, hoy en día, es el hecho de que en las universidades se aprende a resolver los problemas dinámicos exactamente como Lagrange nos enseñó a hacerlo hace ya 233 años.
Lagrange alguna vez escribió que Newton había sido el mayor y más afortunado genio que habría existido, ya que el “sistema del mundo” sólo puede ser descubierto una única vez. Puede ser cierto, pero Lagrange nos proporcionó los instrumentos conceptuales para operar mejor con las leyes de Newton y poder arrancarle más secretos al sistema del mundo.
FOTO: El matemático y astrónomo Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)/Crédito: Especial
« Una visión distinta de la cultura: reseña del nuevo libro de Julia Santibáñez La memoria sirve para el pensamiento, no para la música: entrevista con el músico Raúl Zambrano »
