“Principia Mathematica”: en busca del lenguaje matemático perfecto
En 1910, Alfred North Whitehead y Bertrand Russell publicaron el primer tomo de Principia Mathematica, una obra monumental que culminaba el trabajo de una serie de pensadores decididos a encontrar los fundamentos lógicos de una indefectible asertividad
POR RAÚL ROJAS
Es fácil reconocer un libro de matemáticas sin ver el título: basta abrirlo para encontrar en sus páginas símbolos y fórmulas que describen un problema o bien su solución. El libro podría estar escrito en árabe, ruso, griego, o cualquier idioma con otro alfabeto, pero aun así percibimos de inmediato que es un libro de matemáticas. No siempre fue así. Los tratados matemáticos más antiguos parecen largas novelas, pero sus actores son los números y sus intrigas representan soluciones a problemas de interés práctico. Es lo que ha sido llamado “matemáticas retóricas”, en las que todo se explica con palabras y más palabras, sin símbolos especiales. En lugar de fórmulas encontramos intrincadas disquisiciones, escritas como recetas de cocina, que detallan cómo dividir una herencia en partes iguales o cómo calcular el área de un terreno.
Las dos ciencias más antiguas son la astronomía y las matemáticas, por su utilidad directa para organizar los tiempos de la siembra y la administración de pueblos sedentarios. Si nos remontamos a los fenicios y a los sirios, a la escritura cuneiforme y a la aparición de los primeros alfabetos, podríamos decir que las matemáticas tienen unos 33 siglos de antigüedad. Sin embargo, sólo en los últimos 200 años hemos arribado a un lenguaje común para poder transmitir el conocimiento matemático a todas las naciones y a través del tiempo. Fue apenas hace poco más de 100 años (1910) que los filósofos y matemáticos británicos Alfred North Whitehead y Bertrand Russell publicaron el primero de los tres volúmenes de Principia Mathematica, una obra monumental que intentaba, ni más ni menos, que reducir todas las matemáticas a unos cuantos principios y reglas lógicas. Una parte fundamental del proyecto consistía en evitar recurrir al lenguaje de la vida diaria lo más posible, para así poder argumentar solamente con símbolos de manera tan rigurosa que, al final de cuentas, la página impresa parece más bien escrita para una computadora. Principia es muy importante en la historia de la ciencia porque se puede decir que forjó, por primera vez, algo así como la simbología estandarizada con la que de ahí en adelante se escribirían las matemáticas.
La idea no fue realmente de Whitehead o Russell. Antes de ellos, un italiano, Giuseppe Peano (1858-1932), ya había comenzado a escribir tratados matemáticos prácticamente sin utilizar palabras. Peano estaba muy interesado en la comunicación, en la vida diaria y en las matemáticas. Para lo cotidiano inventó “interlingua”, una especie de lenguaje internacional, que era un latín desprovisto de las complicaciones e inflexiones gramaticales que hacen que la lengua de los romanos sea muy difícil de aprender. Interlingua sería una alternativa al esperanto, el cual había sido propuesto quince años antes. La ventaja de interlingua sería que las palabras estarían basadas en raíces latinas, abundantemente presentes en varios lenguajes europeos.
Pero para las matemáticas Peano no quería utilizar ni siquiera interlingua. Aspiraba a un lenguaje puramente simbólico con el fin de evitar que la intuición lingüística fuera una mala guía al momento de escribir una demostración matemática. Muchas veces nuestros ojos o ideas preconcebidas son malos consejeros cuando se trata de elucidar verdades que sólo dependen de conexiones lógicas. Un conocido de mis tiempos de estudiante iba tan lejos, al argumentar sobre el pizarrón, que dibujaba una línea recta como un garabato curvo para impedir que sus ojos lo engañaran durante una demostración que sólo debería estar basada en las conexiones rigurosamente establecidas entre los símbolos que iba escribiendo. Ignoro si Peano hacía lo mismo en sus clases, pero sí sé que su universidad le prohibió enseñarle matemáticas a los ingenieros militares, quienes difícilmente podían descifrar las cadenas de símbolos que Peano grafiteaba en el pizarrón. Por eso, a la colosal tarea de purgar a las matemáticas de todo aquello que no fueran los símbolos de conceptos lógicos, además de basar toda la argumentación en un mínimo de axiomas, se le llamó el “programa de Peano”.
El gran privilegio de Peano, al ir cumpliendo las metas de su programa, era que podía comenzar a bautizar los conceptos matemáticos con los símbolos que se le iban ocurriendo. Por ejemplo, al conjunto que no contiene nada, el conjunto vacío, Peano lo representaba por un círculo con interior blanco. Por el contrario, al conjunto universal que contiene todo, lo representaba con un círculo con interior negro. Más afortunado fue Peano al proponer otros símbolos, ya que los dos circulitos eran muy difíciles de reproducir en las imprentas. Propuso, por ejemplo, el símbolo de existencia (“existe un elemento tal que”), que consiste simplemente en una E mayúscula, rotada 180 grados. Y ese truco, el de tomar letras latinas de la imprenta y rotarlas, lo repitió para inventar los símbolos de intersección, unión y pertenencia de conjuntos, que se obtienen simplemente rotando la U mayúscula, cuatro veces para cuatro símbolos.
Pues bien, lo que hicieron Whitehead y Russell con Principia Mathematica fue, básicamente, conducir el programa de Peano a buen término. Adoptaron algunos de sus símbolos, pero no todos. Más bien conjuntaron los símbolos que ya se habían difundido por Europa y sólo ocasionalmente introdujeron una nueva notación.
Sin embargo, antes de Peano fue Gottlob Frege (1848-1925). El siglo XIX es realmente la época que se puede llamar del “rigor matemático”. Muchos conceptos o ideas que aún estaban planteados en una forma más bien operacional, porque daban resultados, pero que no resistían una revisión lógica, comienzan a ser reformulados. El cálculo diferencial e integral de Newton y Leibniz, por ejemplo, deja de hablar de “magnitudes infinitamente pequeñas”, introduciendo el concepto de cálculos al límite y técnicas para encontrar esos límites. Matemáticos como el francés Augustin-Louis Cauchy “aritmetizan” el cálculo diferencial y ese tipo de argumentación puntillosa comienza a extenderse por todas las áreas de las matemáticas. En última instancia, pensando las cosas hasta sus últimas consecuencias, se puede reducir el concepto de “número”, y las operaciones que hace posibles, a puras conexiones lógicas entre objetos abstractos. El matemático alemán David Hilbert adoptó esa metodología en su propia fundamentación de la geometría. Dos puntos distintos definen una línea en el plano, por ejemplo, y no es necesario decir que entendemos por un punto o una línea, los que ahora son “conceptos indefinibles”. Lo que importa es la relación lógica entre esos conceptos, precisamente el hecho de que por dos puntos distintos solo pasa una línea.
Y eso es lo que intenta hacer Frege, reducir todas las matemáticas a la lógica de aserciones verdaderas o falsas. Las matemáticas serían así un capítulo especial de la lógica, una sección en un libro más amplio. Para eso, Frege, al igual que Peano, tiene que inventar su propio lenguaje que va a llamar el de la lógica de predicados (es decir aseveraciones sobre objetos) y que se expresa con diagramas que hoy ya nadie puede leer. Son diagramas que asemejan más bien circuitos electrónicos, que tenemos que interpretar haciendo fluir los valores de verdad a través de su ramaje para obtener el valor de verdad final (falso o verdadero) de un argumento que consiste en una cadena de aseveraciones. Para un libro tan importante como el de Frege (el famoso Begriffsschrift, o “tratado de los conceptos”) fue aquella una simbología muy desafortunada, por lo difícil de interpretarla y porque nadie la adoptó.
Cuando Frege ya tenía terminado otro libro (Fundamentos de la Aritmética, 1884), donde reducía la aritmética a la lógica, le ocurrió lo peor que le puede ocurrir a un autor: Russell encontró un ejemplo dentro de la teoría de conjuntos, la famosa paradoja de Russell, que dinamitaba todo el edificio teórico, al demostrar que se podían formular aserciones, dentro de la teoría de conjuntos, que eran inconsistentes, es decir, falsas y verdaderas al mismo tiempo. La noticia le llegó a Frege cuando su libro ya estaba en la imprenta.
Después de conocer a Peano durante el Congreso Internacional de Filosofía en 1900 en París, Russell decidió acometer la tarea de completar y extender el programa del italiano. Así lo relató el filósofo inglés en su autobiografía: “El congreso fue el punto de viraje de mi vida intelectual porque ahí conocí a Peano… En las discusiones en el Congreso observé que siempre era más preciso que ningún otro, y que siempre podía solventar las discusiones a su favor. En el curso de los días pensé que esto se debía a su lógica matemática… Me quedó claro que su notación proporcionaba un instrumento de análisis lógico como el que había estado buscando por años”.
Todos los científicos del mundo se habían dado cita en París ese verano en la Exposición Internacional de 1900. Fue por eso que, apenas una semana más tarde de los sucesos que Russell relata, se realizó el legendario Congreso Internacional de Matemáticas, en donde David Hilbert pasó revista a los más famosos problemas abiertos en las matemáticas. El segundo de ellos llamaba a demostrar que la aritmética, bien formalizada, está libre de contradicciones lógicas. Había que evitar el sobresalto causado por la paradoja de Russell, es decir, se tenía que axiomatizar de manera muy cuidadosa a todo el edificio. Sus cimientos no podían ser de barro.
Y eso es lo que intentan Whitehead y Russell en Principia Mathematica, una obra monumental que probablemente pocos matemáticos hayan leído en su totalidad. Es más, no creo que ningún matemático vivo haya leído los tres tomos. No sería por falta de interés, sino de tiempo. Partiendo de una definición de los números y de sus operaciones, Principia necesita decenas de páginas para llegar a la demostración de que uno más uno es igual a dos. No obstante, lo perdurable de Principia es haber mostrado que hay un camino para hacer las cosas, para poder poner las matemáticas sobre una base firme. Eso significó repensar y reformular la teoría de conjuntos, para evitar la emergencia de conjuntos “monstruo”. Pero además Principia estandarizó la notación matemática en una forma que ni Peano ni Hilbert habrían logrado por sí solos. Cuando hoy se escriben matemáticas, se utiliza sólo una porción de la notación de Principia, pero es la parte que todos entienden. Claro que muchos otros símbolos han aparecido a lo largo del tiempo, como el símbolo de Gentzen, una A mayúscula puesta de cabeza y que afirma que algo es cierto “para toda x”. Así son las matemáticas, siempre en evolución, siempre fértiles.
Lo importante de Principia Mathematica es que cierra provisionalmente toda una era: la época de la búsqueda del rigor en las matemáticas, y deja bien claro que los fundamentos lógicos tienen que estar a prueba de tsunamis conceptuales. Uno de esos terremotos ocurriría posteriormente, a principio de los años 30, cuando Kurt Gödel, matemático de Viena, presentó el famoso teorema que lleva su nombre. Gödel demostró que en una teoría de la aritmética tan expresiva que podía autocodificarse, es decir, en una teoría que puede encapsular aseveraciones matemáticas en un número, es posible construir afirmaciones que son ciertas pero indemostrables. Por eso en el gran árbol de las matemáticas, anclado en las raíces que representan sus axiomas, habría teoremas que son verdaderos, pero inalcanzables por cualquiera de sus ramas. Son los frutos “prohibidos” del árbol que no podemos cosechar directamente. Es esa la “incompletez” de la aritmética que Hilbert había pensado imposible.
Pero todo esto es otro drama, muy posterior a la obra grandiosa de Whitehead y Russell, la que dejó una huella indeleble en las matemáticas del siglo XX.
FOTO: El matemático Alfred North Whitehead (1861-1947) fue también una persona preocupada por impulsar la educación a todos los niveles. Además, su trabajo ha sido muy influyente en el campo de la teología progresista estadounidense, que se enfoca en la naturaleza relacional de Dios/ Wellcome Images
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