El método de Arquímedes perdido en el tiempo
Fue hasta 1909 que se descubrió una carta del pensador de Siracusa, escrita en el siglo III a.C., donde al fin podían conocerse sus procedimientos matemáticos, comparados con el cálculo integral de Newton y Leibniz
POR RAÚL ROJAS
A veces, rastrear a los libros que han transformado al mundo parece una historia de detectives. Resulta que una de las obras más importantes para entender la historia de las matemáticas estuvo desaparecida durante siglos y fue apenas redescubierta en 1909. Se trata del trabajo que Arquímedes llamó El método de los teoremas mecánicos, y que consiste en una extensa carta a Eratóstenes, el director de la biblioteca de Alejandría, para explicarle su método matemático. En esa misiva, Arquímedes detalla cómo pudo resolver diversos problemas geométricos conceptualizándolos como problemas mecánicos para reducirlos al equilibrio de una balanza. El redescubrimiento del tratado de Arquímedes a principios del siglo XX fue toda una sensación. Fue el reencuentro con uno de los eslabones perdidos más significativos de las matemáticas de la antigüedad.
Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.) realmente no necesita presentación. Es el célebre y distraído matemático que alguna vez salió de su bañera gritando ¡Eureka!, porque había resuelto un complicado enigma. Con su trabajo, el de Apolonio de Perga y el de Diofanto de Alejandría, muchos años después, las matemáticas griegas alcanzaron su culminación. Arquímedes, en particular, desarrolló métodos que hoy se comparan a los del llamado cálculo integral de Newton y Leibniz y que nos permiten deducir fórmulas para las áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Apolonio, por su parte, escribió un largo y complejo tratado en siete libros sobre las figuras que se obtienen de un cono al seccionarlo con un cuchillo mental, mientras que Diofanto fue uno de los primeros en tratar de utilizar una especie de notación algebraica en su célebre tratado de trece libros llamado simplemente Aritmética.
La vida de Arquímedes transcurrió en medio de guerras crónicas. Siracusa es una ciudad en Sicilia, que en los tiempos del matemático griego pertenecía a la llamada Magna Grecia, el conjunto de colonias helénicas en Italia. En el siglo tercero antes de nuestra era, los fenicios cartaginenses les disputaban a los romanos la hegemonía náutica sobre el Mediterráneo. Los cartaginenses dominaban el norte de África, mientras que los romanos se comenzaban a extender por el sur de Europa. Las llamadas “Guerras Púnicas” entre fenicios y romanos se prolongaron más de un siglo, comenzando en 264 a. C., es decir, cuando Arquímedes habría tenido 21 años. Como ciudadano de Siracusa participó en la defensa de su ciudad, pero no como soldado, sino como inventor. Diseñó máquinas legendarias que habrían contribuido a mantener a su ciudad invicta por muchos años. Una de ellas, la afamada “garra de Arquímedes”, consistía en un garfio que, jalado por poleas y palancas, podía enganchar y levantar a los navíos que se acercaban a las murallas costeras de Siracusa. Se le atribuye haber tratado de incendiar las galeras romanas, a la distancia, utilizando espejos parabólicos para concentrar los rayos del sol, aunque esto parece más bien una leyenda urbana. No es casual que Arquímedes haya podido contribuir con sus invenciones al desarrollo de ciertos armamentos, ya que era un experto en mecánica y podía conceptualizar la operación de complejos aparatos que funcionaban perfectamente ya construidos. Fue precisamente durante la segunda guerra púnica que Arquímedes fue asesinado por un soldado romano, al haber caído Siracusa.
Lo importante del redescubierto Método es que nos revela la manera precisa con la cual Arquímedes resolvía ciertos problemas geométricos. En la actualidad, si queremos calcular el volumen de un cilindro, por ejemplo, imaginamos que lo rebanamos en infinidad de rodajas circulares de un grosor pequeñísimo (infinitesimal, se dice). Si sumamos los volúmenes de todas esas pequeñas piezas podemos encontrar el volumen total del cilindro. Eso es lo que llamamos “integrar” para obtener el volumen de un cuerpo.
Sin embargo, Arquímedes pudo llegar a obtener muchas de las fórmulas que hoy nos enseñan en la escuela haciendo algo similar, pero con una componente mecánica. Lo que hizo el sabio griego fue poner las figuras geométricas “en la balanza”.
Si queremos proceder sistemáticamente, revisando los logros de Arquímedes, habría que comenzar por su cálculo del valor de la famosa constante Pi (que es la relación del perímetro del círculo a su diámetro). Para obtenerla, lo que hizo Arquímedes fue dibujar polígonos regulares (como el hexágono), de muchos lados, inscritos en el círculo (es decir, contenidos en su interior, pero con los vértices tocando el círculo). Al ir duplicando el número de lados, por ejemplo, pasando de 6 a 12, de 12 a 24, y de 24 a 48, el polígono se va pareciendo más al círculo y su perímetro es cada vez una mejor aproximación del perímetro del círculo. Por eso los perímetros de los sucesivos polígonos van convergiendo al del círculo y de esa aproximación se puede calcular una estimación de Pi (que obtendríamos dividiendo el perímetro por el doble del radio). Esto es lo que se ha llamado el método “exhaustivo”, atribuido al matemático griego Eudoxo de Cnido. Arquímedes retoma parte del método de Eudoxo, pero lo extiende de manera decisiva.
Tenemos que hablar también de las palancas, estudiadas por Arquímedes desde el punto de vista conceptual. Lo que hace el inventor es postular una serie de axiomas muy simples y que son obvios por la simetría de los objetos involucrados, como, por ejemplo: “Los platos de una balanza están en equilibrio con pesos iguales en ambos lados”. A pesar de lo sencillo y casi trivial que suenan los axiomas iniciales, de ellos Arquímedes deriva la “ley de la palanca”, que afirma que se obtiene equilibrio en una balanza, aún con pesos desiguales, si el largo de los brazos es inversamente proporcional al peso de cada objeto. Por ejemplo, si un objeto en el plato izquierdo pesa un kilo y el otro, en el plato derecho, tres kilos, entonces el brazo izquierdo de la balanza tiene que ser tres veces más largo que el brazo derecho. Es decir, podemos levantar un objeto que pesa tres kilos aplicando una fuerza equivalente a un kilo, pero utilizando una larga palanca. Todos hemos utilizado palancas y sabemos que con este dispositivo podemos potenciar nuestra fuerza. Por eso Arquímedes decía que podría mover al mundo si alguien le daba un punto de apoyo.
En el Método, Arquímedes descompone también las figuras geométricas en rebanadas, pero utiliza un truco realmente genial. Cada vez que secciona a una figura, por ejemplo, una esfera de la que obtiene cortes circulares, coloca en uno de los platos de una balanza imaginaria la sección obtenida. En el otro plato de la balanza coloca alguna figura para la cual el cálculo del área o volumen es ya conocido. Por ejemplo, podríamos balancear el área de un círculo de radio conocido con el área de un cuadrado cuyo tamaño podemos fácilmente calcular. Así que la idea básica es que de un lado de la balanza se van colocando los cortes de una figura de volumen desconocido (una esfera, por ejemplo) y del otro lado se coloca una figura de volumen conocido (un cilindro, por ejemplo). Al lograr el equilibrio de ambas figuras, en la balanza, la relación del largo de los brazos de los “platos” nos revela la proporción relativa de los volúmenes.
Para encontrar el volumen de una esfera, lo que realmente hace Arquímedes en el Método es poner la esfera y un cono en el lado izquierdo de la balanza, mientras que del lado derecho coloca un cilindro. Equilibra los volúmenes, y como en esa parte del libro ya el volumen del cilindro y del cono son conocidos, deriva de ahí la fórmula para el volumen de la esfera, que, para celebrar el resultado, no voy a evadir escribir aquí: cuatro tercios de Pi por el radio de la esfera al cubo.
No sé ustedes, pero al matemático moderno se le pone la carne de gallina al leer los métodos geométricos tan elegantes, de regla y compás y con balanzas mentales, con los que los griegos podían resolver problemas que hoy pertenecen a cursos universitarios. Hay que tener en cuenta que estamos hablando de hace 23 siglos, es decir, de avances teóricos que se perdieron en la bruma de la Edad Media. En el Método, Arquímedes resuelve otros problemas, como calcular el área de parábolas o de secciones de círculos o cubos, todo en una carta escrita en pergamino y que fue copiada alguna vez, en el siglo IX, a otro pergamino. Es éste el que se llama el “Palimpsesto de Arquímedes”. Recibió este nombre porque un palimpsesto es un pergamino ya cubierto de texto, que se decolora y recicla para escribir un nuevo texto. Es lo que sucedió con la copia del Método, cuyo pergamino fue reutilizado por algunos monjes en Constantinopla para escribir oraciones litúrgicas.
Afortunadamente un arqueólogo danés examino el palimpsesto en 1909 y se dio cuenta de que contenía, en el “segundo piso” del pergamino, varios tratados de Arquímedes. Lo rescató y la lectura del contenido lo llevó a redescubrir el Método, que se suponía perdido para siempre.
Serán esos dos gigantes de la ciencia, Arquímedes y Apolonio, quienes investigarán a fondo las propiedades de las secciones cónicas, entre ellas la elipse. Hoy sabemos que los planetas giran alrededor del sol describiendo precisamente elipses. Los griegos no lo sabían, pero trataron de predecir el movimiento de los planetas utilizando sistemas de círculos, unos rotando sobre los otros, como si fueran engranes en un sistema solar con la tierra en el centro. Varios siglos después, todo esto será recompilado por Ptolomeo, quien en el Almagesto podrá representar al sistema solar utilizando sistemas de engranes, llamados epiciclos, deferentes y ecuantes.
Curiosamente, a veces las casualidades ocurren juntas. En 1900, un buzo descubrió cerca de la isla de Anticitera, entre Creta y Grecia, los restos de un naufragio de los que se rescataría posteriormente un extraño mecanismo griego con engranes y carátulas circulares. Se le llamó el “Mecanismo de Anticitera”, y se le ha estado estudiando por muchas décadas. Se sabe hoy que se trata de un artefacto astronómico, utilizado para predecir el movimiento de los planetas, el Sol y la Luna. Se desconoce la fecha exacta en la que fue manufacturado, pero podría ser entre el siglo tercero y primero antes de nuestra era. El mecanismo es de una complejidad impresionante y sólo ha podido ser descifrado utilizando imágenes de rayos X de los restos de lo que se pudo rescatar, una masa corroída de metal. Podría ser que el diseño de este artefacto fuera de Arquímedes, ya que Cicerón menciona, a principios de nuestra era, que Arquímedes habría creado una máquina “sobre la cual se delinean los movimientos del sol y la luna y de las cuatro estrellas llamadas migrantes (los planetas)… Arquímedes concibió una manera de representarlos con un solo mecanismo para mostrar cómo giran alrededor del globo, con sus diferentes movimientos y diferentes velocidades”.
No fue sino hasta el siglo XIV que en Europa se construyeron relojes astronómicos que podían rivalizar con el mecanismo de Anticitera. Claro que no es seguro que el diseño se deba a Arquímedes, pero lo que es claro es que sin los avances conceptuales evidentes en el Método y en muchos otros escritos del sabio de Siracusa, ese mecanismo no podría haber sido construido.
Mucho tiempo tendría que transcurrir para que las matemáticas europeas pudieran rivalizar con los métodos de integración de Arquímedes. Es hasta que entran en escena Fermat, Cavalieri, Descartes, Newton y Leibniz, en el siglo XVII, que los matemáticos contarán con herramientas conceptuales más avanzadas que las del matemático griego. Es decir, Europa necesitó casi 19 siglos para recuperar y rebasar a Arquímedes. Con la afortunada publicación del Método, una obra que milagrosamente se pudo reintegrar a la literatura universal, entendemos hoy mejor por qué es así.
FOTO: Arquímedes pensativo, óleo sobre tela del pintor Domenico Fetti (1620), actualmente en la Galería de Pinturas de los Maestros Antiguos, en Dresde, Alemania/ Die Online Collection der Staatlichen Kunstsammlungen
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