John Napier y la invención de los logaritmos
En 2014 los logaritmos cumplieron cuatro siglos de existir y en 2022 la regla de cálculo alcanzará la misma edad. Gracias a ellos, hoy en día son medibles fenómenos como la intensidad del sonido o la magnitud de un sismo
POR RAÚL ROJAS
Los ingenieros y científicos de mi época seguramente recuerdan con gran afecto a la regla de cálculo y a las tablas de logaritmos que era obligatorio aprender a usar en la escuela secundaria. Con la regla de cálculo es posible multiplicar y dividir números rápidamente. Aprender a utilizarla correctamente era uno de los ritos de iniciación de aquellas generaciones. Pero llegaron las calculadoras portátiles en la década de los 70 y todo eso se volvió obsoleto. Ahora sólo había que teclear los números y la operación: el resultado aparecía instantáneamente en la pantalla. Para utilizarlas ya no era necesario pensar. Alguna vez pude observar a un niño de primaria “de la era atómica” multiplicando cero por 10 utilizando una calculadora portátil.
El inventor de los logaritmos fue el matemático escocés John Napier (1550-1617), quien publicó su revolucionaria idea en un libro de 1614 con el rimbombante título Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descripción de la maravillosa ley de los logaritmos). El libro estaba escrito en latín, la lingua franca entre los científicos de la época. Hace pocos años, en 2014, los logaritmos cumplieron cuatro siglos de edad.
John Napier era uno de esos científicos que se dedicaban a todo, a las matemáticas, invenciones de ingeniería, la teología, la alquimia y el ocultismo. Se interesaba mucho por desarrollar métodos para facilitar cálculos aritméticos. Para eso inventó un sistema de barras con las tablas de multiplicación decimal inscritas, el que fue integrado por el alemán Wilhelm Schickard en una calculadora mecánica. Napier mantuvo contacto con muchos ilustrados de la época, entre ellos los astrónomos Tycho Brahe y Johannes Kepler.
Todo el truco de los logaritmos consiste en transformar la multiplicación de dos números en la adición de sus logaritmos, y la división en la substracción de los mismos. Napier define al logaritmo de una manera geométrica, utilizando dos segmentos. Podemos reproducir lo esencial de su argumentación con un ejemplo: si pensamos en la sucesión de números 10, 100, 1000, 10000, lo que tenemos es una secuencia de potencias decimales. Es decir, 10 elevado a las potencias 1, 2, 3 y 4, respectivamente. A los números 1, 2, 3 y 4 los llamamos los logaritmos de 10, 100, 1000, y 10000. Podríamos también decir que el logaritmo es el exponente necesario para producir los números que estamos considerando, utilizando la base 10. Decía que Napier define a los logaritmos poniendo en correspondencia dos segmentos: en uno anota la secuencia de potencias de 10 y en el otro la secuencia de exponentes. Esa correspondencia es la “relación” o razón entre ambas series de números. Con esa idea básica en mente fue que Napier acuñó la palabra logaritmo. Logos quiere decir “relación” en griego y arithmos quiere decir “número”. El logaritmo es entonces una “relación numérica”.
Hoy utilizamos logaritmos todos los días, aunque no nos demos cuenta. La escala de Richter para clasificar terremotos, por ejemplo, está basada en ellos. Un terremoto puede ser de nivel 3, 4, 5 o 6, al medirlo con un sismógrafo. El terremoto de escala 4 nos da una medición del sismógrafo 10 veces mayor que uno de escala 3. El de escala 5 incrementa la medición cien veces y el de escala 6 mil veces más que el de escala 3. Como se ve, la magnitud del terremoto medido en el sismógrafo aumenta proporcionalmente a las potencias de 10, con un exponente que es la diferencia entre los niveles de Richter respectivos.
También para hablar de la intensidad del sonido empleamos escalas logarítmicas, basadas en los llamados decibelios. Todo esto tiene que ver con la manera en que muchos de nuestros órganos actúan. Para incrementar el rango de intensidades que nuestros ojos o los oídos pueden percibir, las señales son atenuadas por nuestro organismo para producir una medición logarítmica. Por ejemplo, la intensidad de la luz a la intemperie puede ser cientos de miles de veces mayor que en interiores. Pero el cambio en la percepción subjetiva es mucho menor. Eso es lo que se llama “ley de Weber-Fechner” de la psicofísica. Así que la “logaritmización” de las percepciones es algo que traemos ya cableado desde que nacemos.
Obviamente todas estas conexiones modernas con la teoría de los logaritmos no fue lo que motivó a John Napier cuando los inventó. Lo que él quería era simplificar la multiplicación y la división. Es casi un milagro que hubiera dado con la definición correcta, ya que en la época que escribe los matemáticos aún no utiliz aban el punto decimal como hoy lo hacemos. En sus ejemplos y tablas en Descriptio, Napier utiliza solamente números entre 0 y 1. Para no tener que utilizar el punto decimal escribe todos los números escalados por un gran factor numérico. La posición del punto decimal queda implícita en la tabla. Además, no define los logaritmos como se hace hoy, hablando del exponente del número 10, por ejemplo, sino utilizando una “base” muy curiosa, un número poco menor que 1. Lo que logra de esa manera es que los números en sus tablas disminuyan muy gradualmente al ir calculando las potencias sucesivas.
Leyendo una traducción al inglés de Descriptio se da uno cuenta de que prácticamente lo único que subsistió del libro, pero se hizo famoso, es la definición de los logaritmos y la idea de usar tablas de estos. El segundo libro de Descriptio, dedicado a aplicaciones de los logaritmos en la trigonometría, no es muy relevante. Napier mismo publicó otra obra en 1620 donde profundizó los resultados que había obtenido para la trigonometría esférica. Incluso las tablas de Napier hubo que recalcularlas completamente cuando el matemático Henry Briggs le recomendó utilizar la base 10. Posteriormente, el gran Leonhard Euler comenzó a utilizar los llamados logaritmos naturales. Así que Descriptio tuvo que ser modificado; los ejecutores del testamento de Napier lograron modernizar ediciones posteriores de la obra, para incluir logaritmos de base 10 y también los logaritmos llamados naturales. Por eso en Inglaterra a la base de los logaritmos naturales se le llama “constante de Napier”, mientras que en Alemania y Suiza se le conoce como “constante de Euler”, ya que el matemático suizo fue realmente el primero que trabajó con ella.
Por su impacto en las matemáticas, es claro que el libro de Napier tuvo una gran importancia histórica. Pero es curioso que, aparte de la definición de los logaritmos, casi nada más haya alcanzado una gran relevancia en la práctica de las matemáticas. Si Tito Monterroso acertó a escribir un cuento mínimo sobre un dinosaurio, con solo dos oraciones, habría que decir que John Napier utilizó muchas más (en casi 160 páginas), pero el contenido fundamental de la obra se limita a una sola línea: “el número base elevado a la potencia log(x) reproduce a x”. Y no hay que olvidar las tablas de logaritmos, que se necesitan para aplicar la idea, si no se tiene una regla de cálculo a la mano.
Después de colaborar con Napier, Henry Briggs publicó en 1624 una tabla de logaritmos de 30 mil números enteros con 14 posiciones decimales. En 1622, ocho años después de la publicación de Descriptio, el matemático William Oughtred inventó una regla de cálculo ya muy similar a las que mencionaba al principio.
Y el resto es historia. La regla de cálculo logarítmica se seguiría utilizando 340 años más. Se vendieron millones en todo el mundo. Los astronautas de la misión Apolo XI, que en 1969 llegó a la luna, las llevaban consigo. Uno de los gratos recuerdos de mi niñez es la importancia que mi padre le daba a su regla de cálculo y el día que me llevó con mis hermanos a una tienda de instrumentos científicos para adquirir las nuestras. Y es que la regla de cálculo no se compartía. Cualquier científico o ingeniero en ciernes necesitaba su aparato propio. No me imaginaba que pocos años más tarde la electrónica convertiría a las reglas de cálculo en piezas de museo.
FOTO: El matemático John Napier (1550-1617). Óleo anónimo que data de 1616/ Crédito: National Galleries of Scotland
« Decreta Todd Gloria “Día de la presidenta municipal Karla Patricia Ruiz Macfarland” en San Diego “Escribir es un acto completamente irracional”: Eduardo Halfon »
