Liber Algebrae, la iluminación que llegó de Oriente

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Los problemas prácticos de la vida diaria fueron el origen de uno de los libros de matemáticas más importantes en la historia de la humanidad, muestra clara de los aportes de la cultura árabe en épocas del oscurantismo medieval europeo

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POR RAÚL ROJAS
Cuando hoy hablamos del “ál-gebra” nos estamos remitiendo a la tradición matemática de los árabes. Cuando decimos “algoritmo” y “guarismo” estamos recordando a uno de los más brillantes exponentes de aquella tradición, el matemático con el largo nombre Abu Abdallah Muḥammad ibn Musa al-Jwarizmi, simplemente conocido en español como Al-Juarismi. El erudito persa es toda una leyenda en la historia de la ciencia.

 

Durante la época en la que el legado matemático de los griegos invernaba en Europa, las traducciones de libros árabes rejuvenecieron a la cultura del continente. Una de las obras de Al-Juarismi, el “Compendio de Cálculos Completando y Balanceando” (al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-yabr wa-l-muqabala), fue traducido al latín como “Liber Algebrae” y fue así como desde entonces decimos “álgebra” para referirnos al arte de resolver ecuaciones. El vocablo original, al-yabr, quiere decir “completar” y se usaba también para referirse a aquellos médicos que podían reacomodar huesos. Todavía en la época de Cervantes un “algebrista” era un huesero. Es uno de ellos quien trata a Don Quijote después de una más de sus fallidas aventuras.

 

Al-Juarismi, como decíamos, de origen persa, nació alrededor del año 780 de nuestra era en una ciudad de la actual Uzbekistán. Cultivó las matemáticas y la astronomía en Bagdad, en la época en que esa ciudad se convirtió en el centro del mundo intelectual del Medio Oriente. Los eruditos árabes ahí reunidos recuperaron el saber de la edad grecolatina, incorporando además conocimientos babilónicos e hindúes. Bagdad era precisamente el epicentro donde confluían todas esas culturas. A través del dominio árabe del norte de África y de la península ibérica, todo ese conocimiento acumulado incidiría a la larga en la historia europea.

 

Liber Algebrae fue traducido al latín por Gerardo de Cremona, en Toledo, para enseñarle a los europeos cómo resolver las ecuaciones que hoy llamaríamos de primer y segundo grado, como las que se estudian en la escuela secundaria. Ese tipo de ecuaciones tiene muchas aplicaciones prácticas, como, por ejemplo, resolver problemas geométricos o para repartir herencias. Por eso casi la mitad del libro está dedicada a casos concretos que muestran cómo se puede repartir bienes de acuerdo con lo estipulado en un testamento.

 

Liber Algebrae es un ejemplo paradigmático de lo que en la historia de las ciencias ha sido llamado las “matemáticas retóricas”, es decir, matemáticas que no utilizan notación alguna. Los problemas se resuelven platicando la forma de hallar una solución particular, sin generalizar con una fórmula simbólica. En Liber Algebrae no encontramos símbolos para la adición, substracción o multiplicación, y tampoco de igualdad. Sólo hay palabras y más palabras. Tanto el planteamiento del problema como su solución se expresan de manera puramente discursiva, por ejemplo, así: “Dividí diez en dos partes. Multiplicando una parte por la otra, el resultado es veintiuno”. Aquí se trata de encontrar el valor de esas dos particiones, lo que hoy llamaríamos el valor de las “incógnitas”.

 

Ya ahí comenzaron los problemas de traducción para los europeos. Los árabes llamaban a la incógnita la “raíz” del problema, que más bien se refería a un “segmento” o la “base” (que era la acepción de la palabra en árabe) del diagrama con el que se planteaba el problema en términos geométricos. Sin embargo, Gerardo de Cremona y otros tradujeron el vocablo árabe como “raíz”, pero la de una planta, y desde entonces tenemos a la botánica metida en las matemáticas: hablamos de encontrar las “raíces” de un polinomio, por ejemplo. Los italianos, por su parte, tradujeron el nombre de la incógnita como “cosa”. Por eso aquellos que se dedicaban a resolver problemas algebraicos eran llamados “cosistas” y en vez de álgebra se hablaba del “arte cosista”. En una traducción al alemán de Liber Algebrae encontré la palabra “raíz” para referirse a la incógnita. En una traducción al inglés encontré el vocablo “cosa”. Hoy en día cada uno traduce a Al-Juarismi como puede.

 

Ahora bien, para resolver ecuaciones hay que pensar en una igualdad matemática como los dos platos de una balanza. Se trata de mover números de un lado al otro de la báscula, para “despejar” a la incógnita, pero hay que tener cuidado de que la balanza se mantenga en equilibrio. Si sumamos algo en un plato, es decir, en un lado de la ecuación, tenemos que sumar lo mismo en el otro lado. Si descontamos algo, lo tenemos que hacer en los dos lados, etc. El “arte cosista” consiste en arreglárselas para que al final de todas estas manipulaciones la incógnita quede aislada en un lado y su valor numérico en el otro. Por eso el título en árabe de Liber Algebrae alude a la necesidad de “balancear” (wa-l-muqabala) siempre los términos de una ecuación. “Completar” y “balancear”, eso es lo que hay que tener en cuenta para resolver una ecuación.

 

Al-Juarismi tenía una técnica para resolver ecuaciones cuadráticas, que explica al principio del libro. Si sabemos que la incógnita al cuadrado es 16, por ejemplo, deducimos de inmediato que la incógnita es 4. Lo podemos pensar geométricamente: un cuadrado de lado 4 tiene un área igual a 16.

 

Por eso, lo que Al-Juarismi hace es interpretar todos los números en una ecuación cuadrática como áreas, ya sea de cuadrados o de rectángulos. El “arte del álgebra” consiste entonces en acomodar todas estas piezas, como si fueran Legos, para que formen un cuadrado perfecto, del cual conocemos el área porque está integrado por todas las piezas que hemos utilizado. Dada el área del cuadrado construido, calcular la longitud de los lados del cuadrado resulta simple: sólo hay que calcular la raíz cuadrada del área total. Esa es la llamada técnica de “completar el cuadrado”, que aprendemos en la escuela secundaria, y de la cual se puede derivar una fórmula general para cualquier ecuación cuadrática.

 

Desgraciadamente Al-Juarismi no disponía del poder de la notación matemática algebraica, la que aún no existía. Crearla será un proceso que tomará siglos: primero emergerán los símbolos aritméticos (+,-,x) y posteriormente los símbolos algebraicos. Habrá que esperar hasta Descartes, en el siglo XVII, para que ya se deje de hablar de la “cosa” y se comience a hablar de la “variable x”, misma que hay que despejar en una expresión que ya se escribe con una notación parecida a la actual.

 

Al no contar con esa notación que le permitiera escribir fórmulas, lo que hace Al-Juarismi en Liber Algebrae es considerar seis casos especiales de ecuaciones cuadráticas, tres que se pueden resolver casi en un solo paso y tres que son variantes más dificultosas. Al-Juarismi tiene que considerar casos diferentes porque quiere evitar la aparición de números negativos en la balanza. Un número negativo no puede figurar, tal cual, en un problema. En ese caso se le debe enviar al lado opuesto de la ecuación. Los hindús ya trabajaban implícitamente con números negativos, al considerarlos deudas. Al-Juarismi estaba consciente de esa posibilidad, pero no le queda otra alternativa más que formular todos sus ejemplos de manera que no aparezcan números negativos en cada lado de la balanza.

 

Ésta es la característica más asombrosa del tratado. Al no contar con una fórmula general, lo que tenía que hacer el lector era memorizar la solución de muchos casos especiales, ilustrados en el libro con múltiples ejemplos, para así poder encontrar el que se aplicaba a un problema particular. El lector tenía que identificar un ejemplo similar ya resuelto en la obra y podía seguir los mismos pasos. Para ayudarle al lector contemporáneo, en las traducciones modernas de Liber Algebrae, las ecuaciones descritas retóricamente se agregan en forma simbólica a pie de página. A veces sólo tres líneas de símbolos resumen todo lo descrito en una página completa de matemáticas retóricas. Ese es el poder de la notación matemática, que ya había sido explorada por el matemático griego Diofanto, pero sin que sus esfuerzos hubieran tenido continuidad histórica. De los trece libros de su “Aritmética”, su obra cumbre, se perdieron doce.

 

Como es inevitable en una disciplina con tantos siglos de existencia, existen múltiples candidatos a los que se les pudiera atribuir la paternidad del álgebra. Uno de ellos es Diofanto, otro Al-Juarismi. Pero también Francois Vietá y René Descartes han sido mencionados. Para los ingleses, Thomas Harriot merece ese calificativo honorífico.

 

A mí me parece que Liber Algebrae es todavía una obra muy “euclidiana” y no puramente algebraica. El poder de la notación simbólica no está presente en ningún lado. Eso es lo mínimo que uno esperaría en una obra de álgebra. Así que, por un accidente de la historia, el título de la obra bautizó a la disciplina emergente, pero dado que los métodos de solución son todavía geométricos, tenemos realmente que esperar hasta que Descartes supere el método de geometrización de los griegos, para crear la llamada “geometría analítica”. Con ese avance conceptual quedaría claro que todos los problemas matemáticos, incluso los geométricos, pueden reducirse a manipulaciones simbólicas, lo que constituye la esencia de lo que hoy llamamos álgebra.

 

Al-Juarismi no es el padre de la disciplina, pero suyo fue el privilegio de haber plantado su bandera y darle nombre a los vastos espacios del pensamiento que Liber Algebrae le abrió a la humanidad.

 

FOTO: El matemático y astrónomo persa Al-Juarismi (780-850) en un timbre postal de la URSS en 1983./Especial

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